Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Jacques Salomon Hadamard (1865-1963), Charles-Jean de la ValIee-Poussin (1866--1962), John Edensor Littlewood (1885- 1977)

Matematyk Don Zagier skomentował, że "pomimo ich prostej definicji i roli jako elementów składowych liczb naturalnych, liczby pierwsze rosną jak chwasty wśród liczb naturalnych ... i nikt nie jest w stanie przewidzieć, gdzie wyrosną następne. … Nawet bardziej zdumiewające ... liczby pierwsze wykazują oszałamiającą regularność, istnieją prawa rządzące ich zachowaniem i przestrzegają tych praw z niemal wojskową precyzją. " Rozważmy π{n), czyli liczbę liczb pierwszych mniejszą lub równą podanej liczbie n. W 1792 roku, gdy miał zaledwie 15 lat, Carl Gauss zafascynował się występowaniem liczb pierwszych i zaproponował, że 1T {n) był w przybliżeniu równy n/ln(n), gdzie ln jest logarytmem naturalnym. Jedną konsekwencją twierdzenia o liczbie pierwszej jest to, że n-ta liczba pierwsza jest w przybliżeniu równa nln (n), przy czym błąd względny tego przybliżenia zbliża się do 0, gdy n zbliża się do nieskończoności. Gauss później dopracował swoje oszacowanie do π(n) ˜ Li(n), gdzie Li(n) jest całką od 2 do n dx/ln(x). Wreszcie w 1896 r. Francuski matematyk Jacques Hadamard i belgijski matematyk Charles-Jean de la Vallee-Poussin niezależnie udowodnili twierdzenie Gaussa. Na podstawie eksperymentów numerycznych matematycy przypuszczali, że π(n} zawsze był nieco mniejszy niż Li(n). Jednak w 1914 roku Littlewood udowodnił, że π(n) < Li(n) odwraca się nieskończenie często, jeśli można przeszukać ogromne wartości n. W 1933 r. Matematyk z Południowej Afryki Stanley Skewes wykazał, że pierwsze skrzyżowanie π(n) - Li(n) = 0 ma miejsce przed 10^10^10^34, liczbą określaną jako liczba Skewesa, gdzie ^oznacza ponoszenie do potęgi. Od 1933 r. Wartość ta została zmniejszona do około 10³¹⁶ Angielski matematyk GH Hardy (1877-1947) określił kiedyś liczbę Skewesa jako "największą liczbę, która kiedykolwiek służyła jakiemukolwiek celowi w matematyce"; chociaż liczba Skewesa straciła tę wzniosłą nagrodę. Około 1950 r. Paul Erdös i Atle Selberg odkryli elementarnym dowodem twierdzenia o liczbie pierwszej - to jest dowód, który wykorzystuje tylko liczby rzeczywiste

Georg Alexander Pick (1859-1942)

Twierdzenie Pick′a zachwyca swoją prostotą i można eksperymentować z użyciem ołówka i papieru milimetrowego. Narysuj prosty wielokąt na równo rozmieszczonej siatce, tak aby wszystkie wierzchołki (narożniki) wielokąta spadły na punkty siatki. Twierdzenie Pick′a mówi nam, że obszar A tego wielokąta, w jednostkach do kwadratu, można ustalić, zliczając liczbę i punktów znajdujących się w obrębie wielokąta oraz liczbę b punktów granicznych znajdujących się na granicy wielokąta, zgodnie z A ~ i + b/2 - 1. Twierdzenie Pick′a nie ma zastosowania do wielokątów, które mają w nich dziury. Austriacki matematyk Georg Pick przedstawił swoje twierdzenie w 1899 roku. W 1911 roku Pick wprowadził Alberta Einsteina do pracy odpowiednich i kluczowych matematyków, co pomogło Einsteinowi rozwinąć jego ogólną teorię względności. Kiedy wojska Hitlera zaatakowały Austrię w 1938 r., Pick, Żyd, wyprowadził się do Pragi. Niestety jego lot nie był wystarczający, aby uratować mu życie. Naziści najechali Czechosłowację i 4wysłali go do obozu koncentracyjnego w Terezinie w 1942 r., gdzie zmarł. Spośród około 144 000 Żydów wysłanych do Terezina około jedna czwarta zmarła na miejscu, a około 60% zostało wysłanych do Auschwitz lub innych obozów śmierci. Od tego czasu matematycy odkryli, że nie istnieje żadne bezpośrednie analogiczne twierdzenia Pick′a w trzech wymiarach, który pozwalałby nam obliczyć objętość politopu (na przykład wielościanu) poprzez policzenie jego punktów wewnętrznych i granicznych. Używając kalki, która ma siatkę, możemy użyć twierdzenia Picka, aby oszacować obszary regionów na mapie, jeśli przybliżymy region wielokątem. David Darling, brytyjski pisarz naukowy, pisze: "W ciągu ostatnich kilku dziesięcioleci ... dokonywano różnych uogólnień twierdzenia Pick do bardziej ogólnych wielokątów, do wielowymiarowych wielościanów i do sieci innych niż sieci kwadratowe …"Twierdzenie to zapewnia związek między tradycyjną geometrią euklidesową a nowoczesnym przedmiotem geometrii cyfrowej (dyskretnej).

Frank Morley (1860--1937) W 1899 r. Anglo-amerykański matematyk i znakomity szachista Frank Morley zaproponował twierdzenie Morleya, które stwierdza, że w każdym trójkącie trzy punkty przecięcia sąsiednich progów kątowych zawsze tworzą trójkąt równoboczny. Trysekcje odnoszą się do linii prostych, które dzielą kąty wewnętrzne na trzy równe części, i te linie przecinają się w sześciu punktach, z których trzy są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Istnieją różne dowody, a niektóre z najwcześniejszych dowodów były dość skomplikowane. Koledzy Morleya uznali taki wynik za tak piękny i zaskakujący, że stał się znany jako "Cud Morleya". Richard Francis pisze: "Najwyraźniej przeoczony przez starożytnych geometrów lub pośpiesznie porzucony z powodu niepewności i możliwości konstrukcyjnych, problem wyszedł na jaw dopiero sto lat temu. Chociaż domniemany około 1900 roku Frank Morley, rezolucja lub rygorystyczny dowód miał czekać na jeszcze nowsze postępy. To piękne i eleganckie twierdzenie euklidesowe, tajemniczo niezauważone na przestrzeni wieków, należy zatem do XX wieku ". Morley wykładał zarówno w Quaker College w Haverford w Pensylwanii, jak i na Johns Hopkins University. W 1933 r. Opublikował Inversive Geometry napisany wspólnie ze swoim synem matematykiem Frankiem V. Morleyem. Twierdzenie Morleya nadal fascynuje matematyków. W 1998 r. Alain Connes, francuski medalista Fields, przedstawił nowy dowód twierdzenia Morleya

David Hilbert (1862-1943)

Niemiecki matematyk David Hilbert napisał: "Gałąź nauki jest pełna życia, o ile oferuje mnóstwo problemów; brak problemów jest oznaką śmierci". W 1900 r. Przedstawił 23 ważne problemy matematyczne do rozwiązania w XX wieku. Ze względu na prestiż Hilberta matematycy spędzili wiele czasu na rozwiązywaniu problemów przez lata. Jego niezwykle wpływowa wypowiedź na ten temat rozpoczęła się: "Któż z nas nie chciałby podnieść zasłony, za którą kryje się przyszłość: rzucić okiem na kolejne postępy naszej nauki i tajemnice jej rozwoju w przyszłych stuleciach? Jakie będą konkretne cele, do których będą dążyć wiodące duchy matematyczne przyszłych pokoleń? " Od tego czasu około dziesięciu problemów zostało rozwiązanych, a wiele innych ma rozwiązania, które są akceptowane przez niektórych matematyków, ale wciąż istnieją pewne kontrowersje. Na przykład hipoteza Keplera, która wzbudziła pytania dotyczące wydajności upakowania sfery, zawierała dowód wspomagany komputerowo, który może być trudny do zweryfikowania przez ludzi. Jednym z najbardziej znanych obecnie nierozwiązanych problemów jest hipoteza Riemanna, która dotyczy rozkładu zer funkcji zeta Riemanna (funkcja bardzo niepewna). David Hilbert zauważył: "Gdyby) się obudził po tysiącleciach, moje pierwsze pytanie brzmiałoby: czy hipoteza Riemanna została udowodniona?" Ben Yandell pisze: "Rozwiązanie jednego z problemów Hilberta było romantycznym marzeniem wielu matematyków … W ciągu ostatnich stu lat rozwiązania i znaczące częściowe wyniki pojawiły się na całym świecie. Lista Hilberta jest rzeczą dość długą i dzięki ich romantycznemu i historycznemu urokowi te dobrze dobrane problemy były siłą organizacyjną w matematyce ".

Karl Pearson (1857-1936)

Naukowcy często uzyskują wyniki eksperymentalne, które nie są zgodne z przewidywanymi zgodnie z regułami prawdopodobieństwa. Na przykład, gdy rzucasz kostką, jeśli odchylenie od oczekiwań jest bardzo duże, powiedzielibyśmy, że matryca jest prawdopodobnie tendencyjna, tak jak w przypadku d, e o nierównych bokach. Test chi-kwadrat został po raz pierwszy opublikowany w 1900 r. Przez brytyjskiego matematyka Karla Pearsona, a jego metoda była stosowana w niezliczonych dziedzinach, od kryptografia i inżynieria niezawodności do analizy rekordów uderzeń w baseballu. Podczas stosowania testu zakłada się, że zdarzenia są niezależne (jak w naszym przykładzie podrzucania). Wartość chi-kwadrat można obliczyć, gdy znamy każdą obserwowaną częstotliwość, O_i i każdą teoretyczną (tj. oczekiwaną) częstotliwość, E_i. Wzór można wyrazić jako Χ² = Σ( O_i - E_i)²/E_i. Jeśli częstotliwość spodziewanych i obserwowanych zdarzeń dokładnie się zgadza, to Χ² = 0 O. Im większe różnice, tym większa wartość dla Χ². W praktyce znaczenie tej różnicy jest określany w odniesieniu do tabeli chi-kwadrat, która pomaga badaczom określić stopień istotności różnicy. Oczywiście badacze mogą być również podejrzliwi, jeśli Χ² jest zbyt bliski zeru, a zatem mogą szukać wartości Χ², które są albo zbyt niski lub zbyt wysoki. Jako przykład przetestujmy hipotezę, że losowa próbka 100 owadów została pobrana z populacji, w której motyle i chrząszcze mają równą częstotliwość. Obserwując 10 chrząszczy i 90 motyli, otrzymujemy Χ² wartość (10 - 50)²/50 + (90 - 50)²/50 = 64, ogromna wartość, która sugeruje, że nasza początkowa hipoteza - że losowo wyciągnęliśmy z populacji z taką samą liczbą motyli jak chrząszcze - jest prawdopodobnie nieprawidłowa. otrzymał wiele nagród za swoją pracę, a choć poza dziedziną matematyki był rasistą i opowiadał się za "wojną" przeciwko "gorszym rasom".

Werner Boy (1879--1914), Bernard Morin (ur. 1931)

Powierzchnię Boy′a odkrył w 1901 roku niemiecki matematyk Werner Boy. Podobnie jak butelka Kleina, ten obiekt jest jednostronną powierzchnią bez krawędzi. Powierzchnia Boy′a jest również powierzchnią nie orientowalną, co oznacza, że dwuwymiarowe stworzenie może podróżować w obrębie powierzchni i znajdować ścieżki, które odwrócą jej zdolność, gdy powróci do punktu początkowego. Wstęga Möbiusa i butelka Klein mają również nie orientowalne powierzchnie. Formalnie rzecz biorąc, powierzchnia Boya jest zanurzeniem płaszczyzny rzutowej w przestrzeni trójwymiarowej bez osobliwości (punktów uszczypnięcia). Istnieją geometryczne przepisy dotyczące jego tworzenia, a niektóre z nich obejmują rozciąganie dysku i przyklejanie jego krawędzi do krawędzi wstęgi Möbiusa. Podczas procesu powierzchnia może przejść przez siebie, ale może nie być tomem lub mieć jakiekolwiek punkty zaciskające. Powierzchnia chłopca jest bardzo trudna do wizualizacji, chociaż grafika komputerowa pomaga badaczom lepiej wyczuć kształt. Powierzchnia chłopca ma trzykrotną symetrię. Innymi słowy, istnieje oś, wokół której kształt można obrócić o 1200 i wyglądać identycznie. Co ciekawe, Boy był w stanie naszkicować kilka modeli powierzchni, ale nie był w stanie określić równań (to to model parametryczny) opisujący powierzchnię. Wreszcie w 1978 r. Francuski matematyk Bernard Morin wykorzystał komputery do znalezienia pierwszej parametryzacji. Morin, niewidomy od dzieciństwa, miał udaną karierę w matematyce. Dziennikarz matematyki Allyn Jackson pisze: "Daleko od uszczerbku dla jego niezwykłej zdolności wizualizacji, ślepota Morina mogła ją wzmocnić ... Jedną z rzeczy trudnych w wizualizacji obiektów geometrycznych jest to, że widzi się tylko ich zewnętrzną stronę, a nie w środku, co może być bardzo skomplikowane .. .. Morin rozwinął umiejętność przechodzenia z zewnątrz do wnętrza .. .. Ponieważ jest tak przyzwyczajony do dotykowej inormacji, Morin może po kilku godzinach manipulowania ręcznym modelem zachowaj pamięć o swoim kształcie przez wiele lat. "

Bertrand Russell (1872- 1970)

W 1901 roku brytyjski filozof i matematyk Bertrand Russell odkrył możliwy paradoks lub pozorną sprzeczność, która wymusiła modyfikację teorii zbiorów. Jedna wersja paradoksu Russella, znana również jako Paradoks Fryzjera, dotyczy miasta z jednym męskim fryzjerem, który każdego dnia goli każdego, kto się nie goli, i nikogo innego. Czy fryzjer goli się? Wydaje się, że scenariusz wymaga, aby fryzjer sam się ogolił tylko wtedy, gdy sam się nie goli. Helen Joyce pisze: "Paradoks budzi przerażającą perspektywę, że cała matematyka opiera się na chwiejnych podstawach i że nie można ufać żadnemu dowodowi". Paradoks Russella, w swojej pierwotnej formie, obejmuje zbiór wszystkich zbiorów, które nie są ich członkami. Wiele zbiorów R nie jest członkami samych siebie - na przykład zbiór kostek nie jest sześcianem. Przykłady zbiorów T, które zawierają siebie jako członków są zbiorem wszystkich zbiorów lub zbiorem wszystkich rzeczy oprócz kostek. Każdy zbiór wydaje się być albo typu R, albo typu T. I żaden zestaw nie może być oboma. Jednak Russell zastanawiał się nad zbiorem S wszystkich zbiorów, które nie są członkami samych siebie. W jakiś sposób S nie jest ani sobą, ani członkiem siebie. Russell zdał sobie sprawę, że musiał zmienić teorię zbiorów w taki sposób, aby uniknąć takich pomyłek i możliwych sprzeczności. Jednym możliwym odrzuceniem Paradoksu Frzyjera wydaje się taki, że możemy sugerować, że taki fryzjer nie istnieje. Niemniej paradoks Russella doprowadził do czystszej formy teorii mnogości. Niemiecki matematyk Kurt Gödel wykorzystał podobne obserwacje, formułując swoje twierdzenie o niekompletności. Brytyjski matematyk Alan Turing również uznał pracę Russella za przydatną w badaniu nierozstrzygalności problemu zatrzymania, który dotyczy oceny, czy program komputerowy zakończy się w skończonej liczbie kroków.

Heinrich Wilhelm Ewald Jung (1876--1953)

Wyobraź sobie skończony zestaw rozproszonych punktów, co możesz zobaczyć na mapie gwiazdozbioru lub przypadkowo rozmieszczonych kropel atramentu na stronie. Narysuj linię między dwoma punktami o największej separacji. Ta największa możliwa odległość d pomiędzy dwoma punktami nazywana jest rozpiętością geometryczną zbioru punktów. Twierdzenie Junga mówi, że bez względu na to, jak dziwnie są one rozproszone, gwarantuje się, że zostaną otoczone okręgiem o promieniu nie większym niż d/√3. W przypadku punktów rozmieszczonych wzdłuż boków trójkąta równobocznego o boku o długości 1, koło otaczające dotyka wszystkich trzech wierzchołków (narożników) trójkąta i ma promień 1/√3. Twierdzenie Junga można uogólnić na trzy wymiary, w których zbiór punktów może być otoczona kulą o promieniu nie większym niż √6d/4. Oznacza to, na przykład, że jeśli mamy w kosmosie zbiór obiektów podobnych do punktów, takich jak stado ptaków lub ławica ryb, wówczas obiekty te mogą zostać zamknięte w takiej kuli. Twierdzenie Junga zostało rozszerzone na różne nie-euklidesowe geometrie i przestrzenie. IT, chcemy przenieść twierdzenie na bardziej zadziwiające terytoria, takie jak zamykanie ptaków w wielowymiarowych hipersferach o wymiarze n, do którego możemy się odwołać cudownie zwarty wzór:



co oznacza, że czterowymiarowa hipersfera o promieniu d√2/5 gwarantuje zatrzymanie stada szpaków latających z dostępem do czwartego wymiaru. Niemiecki matematyk Heinrich Jung studiował matematykę, fizykę i chemię na Uniwersytecie w Marburgu i studiował na Uniwersytecie Berlińskim w latach 1895-1899, a swoje twierdzenie opublikował w 1901

Henri Poincare (1854-1912), Grigorij Perelman (ur. 1966)

Przypuszczenie Poincare, postawione w 1904 r. przez francuskiego matematyka Henri Poincare, dotyczy topologii, gałęzi matematyki obejmującej badanie kształtów i ich wzajemnych powiązań. W 2000 r. Clay Mathematics Institute zaoferował 1 milion dolarów za dowód tej hipotezy, którą można wizualizować koncepcyjnie na wysokim poziomie w odniesieniu do pomarańczy i pączków. Wyobraź sobie pętlę sznurka owiniętą wokół pomarańczy. Teoretycznie możemy powoli zmniejszać pętlę do punktu bez rozrywania sznurka lub pomarańczy i bez sznurka opuszczającego powierzchnię pomarańczy. Jeśli jednak sznurek jest owinięty wokół pączka przez otwór, nie można go skurczyć do punktu bez zerwania sznurka lub pączka. Powierzchnia pomarańczy nazywana jest po prostu połączona, a powierzchnia pączka nie. Poincare zrozumiał, że dwuwymiarowa sferyczna skorupa (na przykład modelowana przez pomarańczową powierzchnię) jest po prostu połączona i zapytał, czy trójwymiarowa kula (zbiór punktów w czterowymiarowej przestrzeni, które są w tej samej odległości od pojedynczy punkt) ma te same właściwości. Wreszcie w 2002 i 2003 r. rosyjski matematyk Grigorij Perelman udowodnił przypuszczenie. Co dziwne, Perelman nie wykazywał zainteresowania odbiorem nagrody i po prostu umieścił swoje rozwiązanie w Internecie zamiast publikować je w głównym czasopiśmie. W 2006 roku Perelman otrzymał prestiżowy Medal Fields za swoje rozwiązanie, ale odrzucił nagrodę, mówiąc, że była ona dla niego "zupełnie nieistotna". Dla Perelmana, jeśli dowód był poprawny "to nie jest potrzebne inne uznanie". Magazyn naukowy podał w 2006 roku: "Dowód Perelmana zasadniczo zmienił dwie odrębne gałęzie matematyki. Po pierwsze rozwiązał problem, który przez ponad sto lat był niestrawnym ziarnem u podstaw topologii. ... [Po drugie] praca będzie prowadzą do znacznie szerszego wyniku ... "układ okresowy", który zapewnia przejrzystość badań przestrzeni trójwymiarowych, podobnie jak tablica Mendelejewa dla chemii ".

Niels Fabian Helge von Koch (1870--1924)

Płatek śniegu Koch jest często jednym z pierwszych obiektów fraktalnych, na które narażeni są uczniowie, a także jednym z pierwszych obiektów fraktalnych opisanych w historii matematyki. Skomplikowany kształt pojawia się w artykule szwedzkiego matematyka Helge von Kocha z 1904 r. "Na ciągłej krzywej bez stycznych, konstruowalnej z elementarnej Geometrii". Obiekt pokrewny, krzywa Kocha, zaczyna się od odcinka linii zamiast trójkąta równobocznego dla procesu użytego do wygenerowania krzywej. Aby utworzyć marszczącą się krzywą Kocha, możemy rekurencyjnie zmieniać odcinek linii, obserwując, jak wyrasta nieskończony ilość krawędzi w procesie. Wyobraź sobie podział linii na trzy równe części. Następnie zamień środkową część na dwie linie, obie o tej samej długości co pierwsze trzy, tak aby tworzyły klin w kształcie litery V (górne krawędzie trójkąt równoboczny). Kształt składa się teraz z czterech linii prostych. Dla każdej z tych linii powtórz proces dzielenia i formowania klinów. Zaczynając od linii o długości 1 cala, długości krzywej wzrostu w kroku n procedury to (4/3)ⁿ. Po kilkuset iteracjach długość krzywej staje się dłuższa niż średnica widzialnego wszechświata. W rzeczywistości "końcowa" krzywa Kocha ma nieskończoną długość i wymiar fraktalny około 1,26, ponieważ częściowo wypełnia płaszczyznę 2-D , w której jest rysowany. Chociaż krawędź płatka śniegu Kocha ma nieskończoną długość, otacza skończony obszar (2√3s²)/5, gdzie s jest oryginalną długością boku, lub równoważnie, obszar ten jest po prostu s/5 razy większy niż obszar oryginalny trójkąt. Zauważ, że funkcja nie ma określonej stycznej na narożniku, co oznacza, że funkcji nie można rozróżnić (nie ma unikalnych pochodnych) na narożnikach. Krzywa Kocha nie jest wszędzie rozróżnialna (ponieważ jest taka spiczasta!), Nawet jeśli krzywa jest ciągła.

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953)

David Darling nazywa ten aksjomat w teorii mnogości "jednym z najbardziej kontrowersyjnych zagadnień matematycznych". Aksjomat ten został sformułowany w 1904 r. przez niemieckiego matematyka Ernsta Zermelo, który został później mianowany na honorową katedrę na Uniwersytecie we Fryburgu, z której zrezygnował w proteście przeciwko reżimowi Hitlera. Choć skomplikowany do pisania matematycznego, aksjomat można wizualizować za pomocą długiej półki misek ze złotą rybką. Każda miska musi zawierać co najmniej jedną złotą rybkę. Aksjomat wyboru (AC) po prostu mówi, że zawsze możesz wybrać, teoretycznie , jedną złotą rybkę z każdej miski, nawet jeśli jest nieskończenie wiele misek, nawet jeśli nie mamy "reguły", z której złotych rybek wyrywać się z każdej miski, a nawet jeśli złote rybki są nierozróżnialne. Używając języka matematycznego, jeśli S jest zbiorem niepustych zbiorów nie mające wspólnego elementu, wówczas musi istnieć zestaw, który ma dokładnie jeden element wspólny z każdym zestawem s z S. Patrząc na ten inny sposób, istnieje funkcja wyboru f z właściwością, która dla każdego zestawu s w kolekcji f(s) jest członkiem s. Przed AC nie było powodu, aby sądzić, że zawsze możemy znaleźć matematyczne uzasadnienie, dla którego ryby wybierają z misek, jeśli niektóre z nich mają nieskończenie wiele ryb, lub przynajmniej nie ma powodu, aby sądzić, że zawsze możemy znaleźć racjonalne uzasadnienie zajmie to mniej niż nieskończoną ilość czasu. Okazuje się, że AC jest rdzeniem wielu ważnych twierdzeń matematycznych w algebrze i topologii, a większość matematyków dzisiaj akceptuje AC, ponieważ jest tak przydatna. Eric Schecter pisze: "Kiedy akceptujemy AC, oznacza to, że zgadzamy się na konwencję, że pozwolimy sobie na użycie hipotetycznej funkcji dowodu płetwy funkcji wyboru, jakby w pewnym sensie" istnieje ", nawet w przypadkach, w których nie możemy podać wyraźny przykład lub jawny algorytm ".

Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922), Oswald Veblen (1880-1960)

Znajdź pętlę z drutu, przekręć ją w bardzo skomplikowany sposób, który nie zawiera żadnych skrzyżowań, i połóż ją płasko na stole, aby stworzyć rodzaj labiryntu. Umieszczasz mrówkę w strukturze. Jeśli labirynt jest wystarczająco złożony, wizualnie trudno jest ustalić, czy mrówka znajduje się wewnątrz czy na zewnątrz pętli. Jednym ze sposobów ustalenia, czy mrówka znajduje się w pętli, jest policzenie liczby razów, które wyimaginowana prosta linia od mrówki do świata zewnętrznego przecina drut. Jeśli linia przecina krzywą parzystą liczbę razy, mrówka znajduje się poza labiryntem; jeśli nieparzystą liczbę razy, mrówka jest w środku. Francuski matematyk Camille Jordan badał tego rodzaju reguły określania wewnętrznej i zewnętrznej strony krzywych, a najbardziej znany jest ze swojego twierdzenia pokazującego, że po prostu zamknięta krzywa dzieli płaszczyznę na wnętrze i na zewnątrz, zwaną obecnie twierdzeniem krzywej Jordana (JCT) . Chociaż może się to wydawać oczywiste, Jordan zdał sobie sprawę, że konieczny jest rygorystyczny dowód, a trudna praca Jordana z krzywymi pojawiła się w jego Cours d'analyse de 'Ecole Polytechnique (Analysis Course from the Ecole Polytechnique), opublikowanym po raz pierwszy w trzech tomach między 1882 a 1887 rokiem JCT pojawił się w trzecim wydaniu tekstu, opublikowanym w latach 1909-1915. Amerykański matematyk Oswald Veblen zwykle przypisuje się, że jako pierwszy przedstawił dokładny dowód JCT w 1905 r. Należy zauważyć, że krzywa Jordana jest krzywą płaską, która jest zdeformowanym okręgiem i musi być prosty (krzywa nie może się przeciąć) i zamknięty (nie ma punktów końcowych, a także całkowicie otacza obszar). Na płaszczyźnie lub kuli krzywe Jordana mają wnętrze i na zewnątrz-aby przejść z jednego do drugiego, należy przekroczyć co najmniej jedną linię. Jednak na torusie (powierzchni kształtu pączka) krzywe Jordana niekoniecznie wykazują tę właściwość.

Axel Thue (1863-1922), Marston Morse (1892-1977)

Sekwencja Thue-Morse (TM) jest sekwencją binarną, która rozpoczyna się od O11O1OO1 ... . Sekwencja została nazwana na cześć norweskiego matematyka Axela Thue i amerykańskiego matematyka Marstona Morse′a. W 1906 r. Thue wprowadził tę sekwencję jako przykład aperiodycznego, rekurencyjnie obliczalnego ciągu symboli. W 1921 roku Morse zastosował go do swoich badań geometrii różnicowej i od tego czasu odkryto wiele fascynujących właściwości i zastosowań. Jednym ze sposobów wygenerowania sekwencji jest rozpoczęcie od zera, a następnie kilkakrotne wykonanie następujących zamian: 0-01 i 1-10 w celu uzyskania następujących kolejnych generacji: 0, 01, 0110, 01101001, 0110100110010110. .. Zauważ, że niektóre terminy, takie jak trzeci termin 0110, to palindromy (sekwencje, które odczytują to samo do tyłu lub do przodu). Możesz wygenerować sekwencję w inny sposób: Każde pokolenie jest uzyskiwane z poprzedniej poprzez dołączenie jego dopełnienia. Na przykład, jeśli widzisz 0110, dołączasz do niego 1001. Możesz również wygenerować sekwencję, zaczynając od cyfr 0, 1,2, 3, ... i zapisując je w notacji binarnej: 0, I, 10 , II, 100, 101, 110, 1I1, .... Następnie oblicz sumę cyfr modulo 2 dla każdej liczby binarnej, to znaczy podziel sumę przez 2 i użyj reszty. Daje to również sekwencję TM: 0, I, 1, 0, 1,0,0, I, ... Sekwencja jest samopodobna. Na przykład zachowanie każdego innego terminu nieskończonej sekwencji odtwarza sekwencję. Zachowanie każdej innej pary również odtwarza sekwencję. Innymi słowy, bierzesz pierwsze dwie liczby, pomijasz kolejne dwie liczby i tak dalej. Chociaż aperiodyczna, sekwencja nie jest przypadkowa. Ma silne struktury bliskiego i dalekiego zasięgu. Na przykład nigdy nie może być więcej niż dwa sąsiednie terminy, które są identyczne.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)

David Darling odnosi się do twierdzenia Brouwera o "punkcie stałym" jako "niesamowitego wyniku w topologii i jednego z najbardziej przydatnych twierdzeń w matematyce". Max Beran mówi, że twierdzenie "zapiera dech w piersiach". Aby pomóc w wizualizacji twierdzenia, wyobraźmy sobie, że mamy dwa arkusze papieru milimetrowego tego samego rozmiaru, jeden na drugim. Twój niechlujny współlokator bierze jeden kawałek, zgniata go w niechlujną kroplę i rzuca na drugi arkusz, aby żaden kawałek kropli nie wystawał poza krawędź dolnego papieru. Twierdzenie to stwierdza, że w kropli istnieje co najmniej jeden punkt, który leży dokładnie nad tą samą pozycją na dolnym arkuszu, w którym był pierwotnie. (Zakładamy, że współlokator nie rozrywa papieru.) To samo twierdzenie działa w innych wymiarach. Wyobraź sobie miskę lemoniady w kształcie kulki z otworem u góry. Twój niechlujny współlokator porusza lemoniadę. Nawet jeśli wszystkie punkty w płynnym ruchu się poruszają, twierdzenie Brouwera podkreśla, że musi być jakiś punkt lemoniady, który jest dokładnie w tym samym miejscu, co przedtem, zanim twój współlokator zaczął się mieszać. W bardziej precyzyjnym języku matematyki twierdzenie stwierdza, że funkcja ciągła od kuli n do kuli n (gdzie n> 0 jest wymiarem) musi mieć ustalony punkt. Holenderski matematyk Luitzen Brouwer udowodnił twierdzenie dla przypadku dla n = 3 w 1909 r. Francuski matematyk Jacques Hadamard udowodnił ogólny przypadek w 1910 r. Według Martina Davisa Brouwer był często wojowniczy, a pod koniec życia Brouwer był izolowany i "pod wpływem całkowicie nieuzasadnionych obaw finansowych i paranoicznego strachu przed bankructwem, prześladowaniami i chorobą". Został potrącony przez samochód i zabity w 1966 r. Podczas przekraczania ulicy.

Felix Edouard Justin Emile Borel (1871-1956)

Poszukiwanie wzorców w niekończącym się strumieniu cyfr w liczbach takich jak π to ciągłe poszukiwanie matematyków. Matematycy przypuszczają, że "π jest" normalne ", co oznacza, że każdy skończony wzór cyfr występuje z taką samą częstotliwością, jaką można znaleźć dla sekwencji całkowicie losowej. Poszukiwanie możliwych wzorów w "π" odegrało kluczową rolę w powieści Carla Sagana "Contad", w której obcy kodowali obraz koła w cyfrach "π". Teologiczne implikacje są intrygujące, co sprawia, że czytelnik zastanawia się, czy wszechświat mógł zostać starannie skonstruowany w celu ujawnienia wiadomości w stałych natury. W rzeczywistości, jeśli "π jest liczbą normalną, to gdzieś w jej niekończących się cyfrach jest prawie na pewno bardzo bliska reprezentacja dla nas wszystkich - współrzędne atomowe wszystkich naszych atomów, naszego kodu genetycznego, wszystkich naszych myśli, wszystkich naszych wspomnień. Bądź szczęśliwy: "π czyni nas nieśmiertelnymi! Czasami matematycy używają wyrażenia" absolutnie normalny, aby określić normalność w każdej bazie i "po prostu normalny", jeśli liczba jest normalna w określonej bazie. (Na przykład, naszym systemem dziesiętnym jest "podstawa 10", ponieważ używa 10 cyfr, od 0 do 9.) Normalność oznacza, że wszystkie cyfry są jednakowo prawdopodobne, wszystkie pary cyfr jednakowo, wszystkie triplety cyfr równie prawdopodobne i tak dalej . Na przykład w przypadku "π" cyfra 7 powinna pojawić się około 1 miliona razy wśród pierwszych 10 milionów cyfr jej dziesiętnego rozszerzenia. W rzeczywistości występuje to 1,000,207 razy, co jest bardzo zbliżone do wartości oczekiwanej. Francuski matematyk i polityk Emile Borel wprowadził pojęcie liczb normalnych w 1909 r. Jako sposób na scharakteryzowanie cyfr "π", które wydawały się mieć właściwości losowego ciągu cyfr. W 1933 r. Sztucznie skonstruowana liczba Champernowne′a była jedną z pierwszych liczb, dla których ustalono, że w bazie 10 nie jest ona liczbą pierwszą. Pierwsza absolutnie nienazwalna liczba została skonstruowana przez Wacława Sierpińskiego w 1916 r. Podobnie jak w przypadku "π" jest przypuszczalna, ale jeszcze nie udowodniono, że liczby √2, e i In(2) są również liczbami normalnymi.

Mary Everest Boole (1832-1916)

Mary Everest Boole była matematykiem samoukiem, znanym z intrygującej książki z 1909 roku "Philosophy and Fun of Algebra" . Była żoną George′a Boole′a (1815-1864), brytyjskiego matematyka i filozofa, który wynalazł algebrę Boolean, która stała się podstawą współczesnej arytmetyki komputerowej. Była także odpowiedzialna za redagowanie jego monumentalnej książki z 1854 r. "Prawa myśli". Jej filozofia i zabawa z algebry daje współczesnym historykom spojrzenie na matematykę na początku XX wieku. W pewnym momencie swojego życia Mary pracowała w Queens College, pierwszej kobiecej uczelni w Anglii. Niestety, żyła w czasach, kiedy kobietom nie wolno było uzyskiwać stopni naukowych ani uczyć na studiach. Chociaż desperacko chciała uczyć, przyjęła pracę w bibliotece, w której doradzała wielu studentom. Jej wytrwałość i zapał do matematyki i edukacji czynią ją bohaterem w oczach współczesnych feministek. Pod koniec swojej książki omawia wyimaginowane liczby, takie jak √-1, którą traktuje z mistyczną c zcią: "[Jeden z najwybitniejszych studentów matematyki w Cambridge] myślał o pierwiastku kwadratowym z minus jeden, jakby to była rzeczywistość, dopóki nie stracił swojej spać i śnić, że był pierwiastkiem kwadratowym minus jeden i nie mógł się wyodrębnić; oraz zachorował tak bardzo, że w ogóle nie mógł pójść na badanie" .Pisze też, że "Aniołowie i pierwiastki kwadratowe wielkości ujemnych ... są posłańcami z Nieznanego jeszcze; i przyjedźcie, aby powiedzieć nam, gdzie mamy iść dalej; i najkrótsza droga, aby się tam dostać; i gdzie nie powinniśmy iść właśnie teraz" .Matematyka wydawała się być we krwi Boole′a. Najstarsza córka Mary wyszła za Charlesa Howarda Hintona (1853-1907), który również przedstawił mistyczne interpretacje teseraktów i narzędzi do wizualizacji czwartego wymiaru. Inna córka , Alicja, słynie z pracy z polytopami, które wymyśliła i które odnoszą się do uogólnień wielokątów do wyższych wymiarów.

Alfred North Whitehead (1861-1947), Bertrand Russell (1872-1970)

Brytyjscy filozofowie i matematycy Bertrand Russell i Alfred North Whitehead współpracowali przez osiem lat, aby stworzyć swoją przełomową pracę Principia Mathematica (trzy tomy, prawie 2000 stron, 1910--1913), której celem było wykazanie, że matematyka może być wyrażona za pomocą takich pojęć logicznych, jak: klasa i członkostwo w klasie. Principia próbowała wyprowadzić prawdy matematyczne z aksjomatów i reguł wnioskowania w logice symbolicznej. Współczesna Biblioteka zalicza Principia do dwudziestej trzeciej najważniejszej książki literatury faktu XX wieku, na liście, która zawiera takie książki jak The Double Helix Jamesa Watsona i The Variety of Religious Experience Williama Jamesa. Według The Stanford Encyclopedia of Philosophy "Napisana jako obrona logiki (tj. pogląd, że matematyka jest w pewnym sensie redukowana do logiki), książka odegrała kluczową rolę w rozwoju i popularyzacji współczesnej logiki matematycznej. Służyła również jako główna impuls do badań nad podstawami matematyki w XX w. Obok Orgarnona Arystotelesa pozostaje najbardziej wpływową książką o logice, jaką kiedykolwiek napisano. "Chociaż Principia udało się uzyskać wyprowadzenie wielu głównych twierdzeń z matematyki, niektórzy krytycy denerwowali się niektórymi założeniami książki, takimi jak aksjomat nieskończoności (to znaczy istnieje nieskończona liczba obiektów), które wydawały się być raczej założeniem empirycznym niż logicznym. Dlatego wciąż pozostaje otwarte pytanie, czy matematykę można sprowadzić do logiki. Niemniej jednak Principia wywarła ogromny wpływ na podkreślenie związków między logiką a tradycyjną filozofią, w ten sposób katalizując nowe badania w różnorodnych dziedziny filozofii, matematyki, ekonomii, językoznawstwa i informatyki W Principia, po kilkuset stronach, autorzy udowadniają, że 1+1=2. Cambridge University Press, wydawca książki, zdecydował, że opublikowanie Principii spowoduje szacowaną stratę 600 funtów. Dopiero po tym, jak autorzy zgodzili się przekazać trochę pieniędzy Cambridge, książka została opublikowana.

Luitzeu Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)

W 2007 roku Francesco Stellacci z Massachusetts Institute of Technology, badacz materiałów, wykorzystał w matematyce twierdzenie o włochatej kuli (HBT), aby zmusić nanocząstki do sklejania się, tworząc struktury o długim łańcuchu. Zgodnie z bardzo wysokim poglądem na twierdzenie, udowodnionym po raz pierwszy w 1912 r. przez holenderskiego matematyka Luitzena Brouwera, jeśli kula jest pokryta włosami i staramy się gładko myć te włosy, aby wszystkie leżały płasko, zawsze zostawimy przynajmniej jeden włos stojące prosto lub dziurę (na przykład łysy punkt). Zespół Stellacciego pokrył złote nanocząsteczki siarkowymi włosami cząsteczkowymi. Z powodu HBT włosy prawdopodobnie wystawały w co najmniej jednym miejscu, a punkty te stały się niestabilnymi defektami na powierzchniach cząstek, co ułatwia zastąpienie tych wyróżniających się chemikaliami, które zachowywały się jak uchwyty, aby cząsteczki mogły się przylegać do siebie, i być może kiedyś zostaną wykorzystane do tworzenia nanodrutów w urządzeniach elektronicznych. Używając języka matematycznego, HBT stwierdza, że każde ciągłe pole wektora stycznego na kuli musi mieć co najmniej jeden punkt, w którym pole wektorowe jest równe zero. Rozważmy funkcję ciągłą f, która przypisuje wektor w przestrzeni 3-D każdemu punktowi p na kuli tak, że f(p) jest zawsze styczna do sfery w punkcie p. Oznacza to, że istnieje co najmniej jedno p, takie, że f(p) = O. Innymi słowy, "włosów na futrzanej kuli nie można szczotkować, tak aby leżały w każdym punkcie kapelusza". Implikacje tego twierdzenia są intrygujące. Na przykład, ponieważ wiatr można uważać za wektory o wielkościach i kierunkach, twierdzenie mówi, że gdzieś na powierzchni Ziemi pozioma prędkość wiatru musi wynosić zero, bez względu na to, jak wieje wiatr jest w każdym innym miejscu. Co ciekawe, twierdzenie o włochatej kuli nie dotyczy powierzchni torusa (na przykład powierzchni pączka), a zatem teoretycznie możliwe jest stworzenie wprawdzie nieapetycznego włochatego pączka, w którym leżą wszystkie włosy płasko

Felix Edouard Justin Emile Borel (1871-1956)

Twierdzenie o nieskończonej małpie mówi, że małpa losowo wciska klawisze na maszynie do pisania przez nieokreślony czas, prawie na pewno napisze określony tekst skończony, taki jak Biblia. Rozważmy jedno biblijne zdanie: "Na początku Bóg stworzył niebo i ziemię". Jak długo zajęłaby małpa wpisanie tego wyrażenia? Załóżmy, że na klawiaturze znajdują się 93 symbole. Fraza zawiera 56 liter (licząc spacje i kropkę na końcu). Jeśli prawdopodobieństwo trafienia poprawnego klawisza na maszynie do pisania wynosi 1/n, gdzie n jest liczbą możliwych kluczy, prawdopodobieństwo, że małpa poprawnie wpisze 56 kolejnych znaków w zdaniu docelowym, wynosi średnio 1/93S⁵⁶, co oznacza, że małpa musiałby spróbować średnio więcej niż razy w 10¹⁰⁰, zanim zrobi to dobrze! Gdyby małpa naciskała jeden klawisz na sekundę, pisałby o wiele dłużej niż obecny wiek wszechświata. Co ciekawe, gdybyśmy zapisywali poprawnie wpisane znaki, małpa oczywiście wymagałaby znacznie mniejszej liczby naciśnięć klawiszy. Analiza matematyczna ujawnia, że małpa, po zaledwie 407 próbach, miałaby szansę 50/50 na wpisanie poprawnego zdania! To z grubsza ilustruje, w jaki sposób ewolucja może przynieść niezwykłe rezultaty przy wykorzystaniu nielosowych zmian poprzez zachowanie użytecznych funkcji i wyeliminowanie niedostosowania. Francuski matematyk Emile Borel wspomniał o małpach "daktylograficznych" (czyli pisaniu na maszynie) w artykule z 1913 r., W którym skomentował prawdopodobieństwo, że milion małp pisze 10 godzin dziennie, aby produkować książki w bibliotece. Fizyk Arthur Eddington napisał w 1928 r .: "Gdyby armia małp bawiła się na maszynie do pisania, mogliby napisać wszystkie książki w British Museum. Szansa na ich zrobienie jest zdecydowanie korzystniejsza niż szansa na [wszystkie cząsteczki gazu w statek nagle przechodzi w samotną połowę statku. "

Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach (1886-1982), Louis de Branges de Bourcia (ur. 1932)

Przypuszczenie Bieberbacha związane jest z dwiema barwnymi osobowościami: okrutnym nazistowskim matematykiem Ludwigiem Bieberbachem, który dokonał przypuszczenia w 1916 r. oraz francuskim Amerykaninem Louis de Branges, samotnym matematykiem, który udowodnił hipotezę w 1984 r., chociaż niektórzy matematycy byli początkowo sceptyczni wobec pracy de Brangesa, ponieważ wcześniej ogłosił fałszywe wyniki. Autor Karl Sabbagh pisze o de Branges: "Może nie jest szalony, ale jest zepsuty." Moje relacje z kolegami są katastrofalne; powiedział mi. I wydaje się, że zostawił za sobą ślad niezadowolonych, zirytowanych, a nawet pogardliwych kolegów, choćby dlatego, że nie ustępuje studentom i kolegom, którzy nie znają dziedziny, w której pracuje. "Bieberbach był aktywnym nazistą i zaangażowany w represje wobec żydowskich kolegów, w tym matematyków niemieckich Edmunda Landaua i Issai Schura. Bieberbach powiedział, że "przedstawiciele zbyt różnych ras nie mieszają się jako studenci i nauczyciele ... Zaskakujące jest to, że Żydzi są nadal członkami komisji akademickich. "Przypuszczenie Bieberbacha stwierdza, że jeśli funkcja zapewnia skojrzenia jeden-do-jednego między punktami w okręgu jednostkowym i punktami w po prostu połączonymi w obszarze płaszczyzny, współczynniki szeregu mocy reprezentującego funkcję nigdy nie są większe niż odpowiadająca moc. Innymi słowy, otrzymujemy f(z) = a₀ + a₁z + a₂z² + a³z³ + … Jeśli a₀ = 0 i a₁ = 1, wtedy |a_n| ≤ n dla każdego n ≥ 2. Prosto połączony region "może być dość skomplikowanym, ale nie może zawierać żadnych dziur. De Branges mówi o swoim matematycznym podejściu: "Mój umysł nie jest zbyt elastyczny. Skupiam się na jednej rzeczy i nie jestem w stanie utrzymać ogólnego obrazu. [Jeśli pominę coś] wtedy muszę bardzo uważać na siebie, żeby nie wpaść w jakąś depresję. ... "Hipoteza Bieberbacha jest znacząca częściowo dlatego, że stanowiła wyzwanie dla matematyków przez 68 lat iw tym czasie zainspirowała znaczące badania.

Roger Arthur Johnson (1890-1954)

Twierdzenie Johnsona głosi, że jeśli trzy identyczne koła przechodzą przez wspólny punkt, wówczas ich pozostałe trzy przecięcia muszą leżeć na innym kole, który jest tego samego rozmiaru co oryginalne trzy koła. Twierdzenie to jest godne uwagi nie tylko ze względu na jego prostotę, ale również dlatego, że najwyraźniej nie zostało ono "odkryte" do 1916 r. przez amerykańskiego geometrę Rogera Johnsona. David Wells pisze, że to stosunkowo niedawne odkrycie w historii matematyki "sugeruje, że bogactwo właściwości geometrycznych wciąż pozostaje ukryte i czeka na odkrycie". Johnson jest autorem książki Johnson′s Modem Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Otrzymał tytuł doktora z Harvardu w 1913 r., a od 1947 do 1952 r. pełnił funkcję przewodniczącego Wydziału Matematyki oddziału Hunter College w Brooklynie, który później stał się Brooklyn College. Idea, że nawet dziś bardzo prosta, ale dogłębna matematyka może być odkryta, nie jest tak daleko idąca, jak się wydaje. Na przykład matematyk Stanisław Ulam, w połowie do końca XX wieku, wydawał się przepełniony prostymi, ale nowatorskimi pomysłami, które szybko doprowadziły do nowych gałęzi matematyki, takich jak te obejmujące automaty komórkowe i metodę Monte Carlo. Innym przykładem prostoty i głębi są Penrose Tilings, wzór płytek odkryty około 1973 roku przez Rogera Penrose'a. Płytki te mogą całkowicie pokryć nieskończoną powierzchnię wzorem, który jest zawsze niepowtarzalny (aperiodyczny). Aperiodyczne układanie płytek było najpierw uważane za matematyczną ciekawość, ale później znaleziono materiały fizyczne, w których atomy były ułożone w taki sam wzór jak układanie płytek Penrose'a. a teraz dziedzina ta odgrywa ważną rolę w chemii i fizyce. Powinniśmy również rozważyć zawiłe i uderzająco piękne zachowanie Zestawu Mandelbrota, skomplikowanego fraktalnego obiektu opisanego prostą formułą, z = z² + c, i odkrytego pod koniec XX wieku

Felix Hausdorff (1868-1942)

Wymiar Hausdorffa został wprowadzony w 1918 r. przez matematyka Felixa Hausdorffa i może być używany do pomiaru wymiarów ułamkowych zbiorów fraktalnych. W życiu codziennym zwykle myślimy o liczbowych wymiarach topologicznych gładkich obiektów. Na przykład płaszczyzna jest dwuwymiarowa, ponieważ punkt na płaszczyźnie można opisać na przykład za pomocą dwóch niezależnych parametrów. lokalizacje wzdłuż osi x i y. Linia prosta jest jednowymiarowa. W przypadku niektórych bardziej skomplikowanych zestawów i krzywych wymiar Hausdorffa zapewnia inny sposób definiowania wymiaru. Na przykład wyobraź sobie linię, która zygzakuje i skręca w tak zawiły sposób, że częściowo wypełnia płaszczyznę. Jego wymiar Hausdorffa wzrasta powyżej I i przyjmuje wartości, które stają się coraz bliższe 2, im bardziej linia wypełnia płaszczyznę. Wypełniające przestrzeń krzywe, jak nieskończenie zwinięte krzywe Peano, mają wymiar Hausdorffa 2. Wymiary wybrzeża Hausdorffa różnią się od około 1,02 dla wybrzeża Afryki Południowej do 1,25 dla zachodniego wybrzeża Wielkiej Brytanii. W rzeczywistości jedna definicja fraktala to zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa przekracza wymiar topologiczny. Użycie wymiarów ułamkowych do oceny chropowatości, zachowania w skali i zawiłości zostało wykazane w tak różnorodnych obszarach, jak sztuka, biologia i geologia. Hausdorff, Żyd, był profesorem matematyki na uniwersytecie w Bonn i był jednym z założycieli współczesnej topologii i słynął z pracy w analizie funkcjonalnej i teorii mnogości. W 1942 r., Kiedy naziści mieli go wysłać do obozu koncentracyjnego, popełnił samobójstwo wraz z żoną i szwagierką. Dzień wcześniej Hausdorff napisał do znajomego: "Wybacz nam. Życzymy tobie i wszystkim naszym przyjaciołom lepszych czasów". Wiele podejść zastosowanych do obliczenia wymiaru Hausdorffa dla skomplikowanych zbiorów sformułował inny Żyd, rosyjski matematyk Abram Samoilovitch Besicovitch 1891-1970), stąd też czasami używa się terminu wymiar Hausdorffa-Besicovitcha

Viggo Brun (1885-1978)

Martin Gardner pisze: "Żadna gałąź teorii liczb nie jest bardziej nasycona tajemnicą niż badanie liczb pierwszych: te irytujące, niesforne liczby całkowite, które odmawiają równego podziału na liczby całkowite oprócz siebie i 1. Niektóre problemy dotyczące liczb pierwszych są tak proste, że dziecko może je zrozumieć, a jednak tak głębokie i dalekie od rozwiązania, że wielu matematyków podejrzewa teraz, że nie ma rozwiązania ... Być może teoria liczb, podobnie jak mechanika kwantowa, ma własną zasadę nieoznaczoności, która w pewnych obszarach wymaga porzucenia dokładności dla preparatów probabilistycznych ". Liczby pierwsze występują często jako pary kolejnych nieparzystych liczb całkowitych, takich jak 3 i 5. W 2008 r. największe znane liczby pierwsze zawierały ponad 58 000 cyfr. Chociaż istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych, przypuszczenie to pozostaje niepotwierdzone. Być może dlatego, że przypuszczenie liczb bliźniaczych jest głównym nierozwiązanym problemem, w filmie The Mirror Has Two Faces znajduje się profesor matematyki grany przez Jeffa Bridgesa, który wyjaśnia przypuszczenie Barbrze Streisand. W 1919 roku norweski matematyk Viggo Brun udowodnił, że jeśli dodamy do siebie odwrotności kolejnych liczb pierwszych bliźniaczych, suma zbiega się do określonej wartości liczbowej. zwany teraz stałą Bruna = (1/3 + 1/5) + (115 + In) + ... - 1,902160 ... Biorąc pod uwagę, że suma odwrotności wszystkich liczb pierwszych rozbiega się na nieskończoność, fascynujące jest, że podwójna liczba pierwsza zbiega się - to znaczy zbliża się do określonej skończonej wartości. To z kolei sugeruje względny "niedobór" liczb pierwszych bliźniaczych, mimo że może istnieć skończony zestaw liczb pierwszych bliźniaczych. Poszukiwanie bliźniaczych liczb pierwszych, a także coraz dokładniejszych wartości B, trwa na kilku uniwersytetach. Poza pierwszą parą wszystkie pary liczb pierwszych bliźniaczych mają postać (6n -1 , 6n +1). Andrew Granville zauważa: "Liczby pierwsze są najbardziej podstawowymi obiektami w matematyce, matematyce. Są także jednymi z najbardziej tajemniczych, ponieważ po wiekach badań struktura zbioru liczb pierwszych nadal nie jest dobrze poznana ... "

Milton Sirotta (1911-1981), Edward Kasner (1878-1955)

Termin googol, oznaczający cyfrę 1, po której następuje 100 zer, został ukuty przez dziewięcioletniego Miltona Sirotta. Milton i jego brat Edwin przez większość życia pracowali w fabryce ojca na Brooklynie w Nowym Jorku, rozdrabniając pestki moreli w celu utworzenia materiału ściernego używanego do celów przemysłowych. Sirotta był siostrzeńcem amerykańskiego matematyka Edwarda Kasnera, który spopularyzował ten termin po tym, jak poprosił Miltona, by wymyślił słowo dla bardzo dużej liczby. Słowo googol po raz pierwszy pojawiło się w publikacjach drukowanych w 1938 r. Kasner jest znany z tego, że jest pierwszym Żydem powołanym na wydział naukowy na Uniwersytecie Columbia i ze współautorem książki Matematyka i Wyobraźnia, w której wprowadził googol do szerokiej nietechnicznej publiczności. Chociaż googol nie ma specjalnego znaczenia w matematyce, okazał się bardzo przydatny do porównywania dużych ilości i do wzbudzania podziwu wśród opinii publicznej na temat cudów matematyki i ogromnego wszechświata, w którym żyjemy. Zmienił także świat na inne sposoby. Larry Page, jeden z założycieli wyszukiwarki internetowej Google, był zaintrygowany matematyką i nazwał swoją firmę imieniem googol, po przypadkowym błędnym napisaniu tego słowa. Nieco więcej niż googol istnieją różne sposoby ułożenia 70 przedmiotów w sekwencji, na przykład 70 osób czekających w kolejce, aby wejść do drzwi. Większość naukowców zgadza się, że gdybyśmy mogli policzyć wszystkie atomy we wszystkich gwiazdach, które widzimy, mielibyśmy znacznie mniej niż atomy googolu. Potrzebne są lata googoli, aby wszystkie czarne dziury we wszechświecie wyparowały. Jednak liczba możliwych gier w szachy to więcej niż googol. Termin googolplex to 1, po którym następuje liczba googoli zer. Ma więcej cyfr niż atomów w gwiazdach w widzialnym wszechświecie

Louis Antoine (1888-1971)

Naszyjnik Antoine jest cudownym przedmiotem matematycznym, który może być przedstawiany jako łańcuch w łańcuchach w łańcuchach ... Naszyjnik można zbudować, biorąc pod uwagę najpierw torus lub kształt pączka. W obrębie torusa budujemy łańcuch C składający się z n komponentów (ogniw). Następnie modyfikujemy każde ogniwo łańcucha C, tak aby faktycznie był to kolejny łańcuch C₁ n stałego tori. W każdym ogniwie C₁ budujemy mniejszą komorę stałego tori osadzoną w każdym ogniwie. Kontynuuj ten proces na zawsze, aby stworzyć delikatny naszyjnik z tori, którego średnica spada do zera. Matematycy nazywają naszyjnik Antoine′a homeomorficznym zestawem Cantor. Dwa obiekty geometryczne są nazywane homeomorficznymi, jeśli pierwszy można zdeformować w drugi przez rozciąganie i zginanie. Na przykład możemy płynnie odkształcać plastyczny, gliniany pączek w kształt filiżanki do kawy, bez rozrywania gliny i ponownego wklejania części. Otwór w pączku staje się przestrzenią W uchwycie na filiżankę kawy. Zestaw Cantora, wprowadzony przez niemieckiego matematyka Georga Cantora w 1883 roku, jest specjalnym zestawem punktów z nieskończenie wieloma przerwami między nimi. Francuski matematyk Louis Antoine stracił wzrok w wieku 29 lat podczas I wojny światowej. Matematyk Henri Lebesgue doradził Antoine'owi, aby przestudiował dwu- i trójwymiarową topologię, ponieważ "w takim badaniu oczy ducha i nawyk koncentracji będą zastąp utraconą wizję ". Naszyjnik Antoine jest godny uwagi, ponieważ jest to pierwsze "dzikie osadzenie" zestawu w trójwymiarowej przestrzeni. Korzystając z pomysłów Antoine'a, James Alexander wynalazł swoją słynną Kulę Homed. Beverly Brechner i John Mayer piszą: "Tori są używane do budowy Naszyjnik Antoine, ale tak naprawdę nie ma torusa w Naszyjnik Antoine. Zostały tylko" koraliki: przecięcia (nieskończenie wielu) stałych tori. Został całkowicie odłączony Naszyjnik Antoine ... ponieważ dla dwóch dowolnych punktów istnieje etap budowy SOffie taki, że dwa punkty będą leżały w różnych tori ",,"

Amalie Emmy Noether (1882-1935)

Pomimo okropnych uprzedzeń, z jakimi musiały się zmierzyć, kilka kobiet walczyło przeciwko establishmentowi i wytrwało w matematyce. Niemiecka matematyk Emmy Noether została opisana przez Alberta Einsteina jako "najważniejszy geniusz kreatywny, jaki do tej pory powstał od momentu rozpoczęcia szkolnictwa wyższego kobiet". W 1915 roku, podczas pobytu na uniwersytecie w Getyndze w Niemczech, pierwszym znaczącym przełomem matematycznym Noether była fizyka teoretyczna. W szczególności twierdzenie Noether dotyczyło symbiotycznych związków w fizyce i ich związku z prawami zachowania. Ta i pokrewna praca była pomocna dla Einsteina, gdy rozwinął swoją ogólną teorię względności, która skupiała się na naturze grawitacji, przestrzeni i czasu. Po otrzymaniu doktoratu Noether próbowała uczyć w Getyndze, ale jej przeciwnicy powiedzieli, że mężczyźni nie mogą oczekiwać, że będą uczyć się "u stóp kobiety". Jej kolega David Hilbert odpowiedział swoim krytykom: "Nie widzę, aby płeć kandydata była przeciwna przyjęciu go jako prywatyzatora [licencjonowanego wykładowcy]. W końcu senat uniwersytecki nie jest łaźnią". Noether jest również znana ze swojego wkładu w niekomunikacyjne algebry, w których kolejność mnożenia warunków wpływa na wyniki. Najbardziej znana jest z badań nad "warunkami łańcucha na ideałach pierścieni", a w 1921 r. Noether opublikował Idealtheorie w Ringbereichen, co ma ogromne znaczenie w rozwoju współczesnej algebry abstrakcyjnej. Ten obszar matematyki bada ogólne właściwości operacji i często łączy logikę i teorię liczb z matematyką stosowaną. Niestety, w 1933 r. Jej osiągnięcia matematyczne zostały całkowicie odrzucone, gdy naziści wypisali ją z uniwersytetu w Getyndze, ponieważ była Żydówką. Uciekła z Niemiec i dołączyła do wydziału w Bryn Mawr College w Pensylwanii. Według dziennikarza Siobhan Roberts Noether "odbywał cotygodniowe wycieczki, aby wykładać w instytucie Princeton i odwiedzać przyjaciół Einsteina i Hermana Weyl". Jej wpływ był szeroki i szeroki. wiele jej pomysłów pojawiło się w artykułach napisanych przez studentów i kolegów.

George Polya (1887-1985)

Wyobraź sobie robota chrząszcza umieszczonego w skręcanej rurce. Stworzenie wykonuje nieskończony losowy spacer, idąc wiecznie, poruszając się losowo o krok do przodu lub o krok wstecz w rurze. Załóżmy, że rura jest nieskończenie długa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowy spacer ostatecznie doprowadzi chrząszcza z powrotem do punktu początkowego? W 1921 roku węgierski matematyk George Polya udowodnił, że odpowiedź brzmi jedno-nieskończone prawdopodobieństwo powrotu na jednowymiarowy losowy spacer. Jeśli chrząszcz zostanie umieszczony u źródła wszechświata o dwóch przestrzeniach (płaszczyźnie), a następnie chrząszcz wykona nieskończony losowy spacer, wykonując losowy krok na północ, południe, wschód lub zachód, prawdopodobieństwo, że losowy spacer ostatecznie nastąpi zabrać chrząszcza z powrotem do źródła jest również jeden. Polya pokazała również, że nasz trójwymiarowy świat jest wyjątkowy: Przestrzeń trójwymiarowa jest pierwszą przestrzenią euklidesową, w której możliwe jest beznadziejne zgubienie chrząszcza Chrząszcz, wykonując nieskończony losowy spacer w trzyprzestrzennym wszechświecie, będzie ostatecznie wrócą do źródła z prawdopodobieństwem 0,34 lub 34 procent. W wyższych wymiarach t: szanse powrotu są jeszcze cieńsze, około 1/(2n) dla dużych wymiarów n. To prawdopodobieństwo 1/(2n) jest takie samo, jak prawdopodobieństwo, że chrząszcz powróci do punktu wyjścia na drugim etapie. Jeśli chrząszcz nie zdąży wrócić do domu w pierwszych próbach, prawdopodobnie zostanie utracony w kosmosie. Rodzice Polyi byli Żydami ale przeszedł na katolicyzm na rok przed jego narodzinami. Urodził się w Budapeszcie na Węgrzech, a w latach 40. XX wieku został profesorem matematyki na Uniwersytecie Stanforda. Jego książka "Jak to rozwiązać" Sprzedała się w ponad milionie egzemplarzy i jest uważany za przez wielu, aby być jednym z najbardziej wpływowych matematyków XX wieku.

Walther Bauersfeld (1879-1959), Richard Buckminster "Bucky" Fuller (1895-1983)

Kopułę geodezyjną można utworzyć, triangulując bryłę platońską lub inny wielościan, tak aby miał płaskie trójkątne ściany i aby mógł bardziej zbliżyć się do kuli lub półkuli. Istnieje kilka projektów takich kopuł. Jako przykład rozważmy regularny dwunastościan z dwunastoma pięciokątnymi powierzchniami. Umieść punkt na środku każdego pięciokąta i połącz go pięcioma liniami z wierzchołkami pięciokąta. Podnieś punkt, aby dotknął wyimaginowanej kuli wokół dekaedronu. Utworzyłeś teraz nowy wielościan z 60 trójkątnymi ścianami i prostym przykładem kuli geodezyjnej. Bliższe przybliżenia do sfer można utworzyć, dzieląc twarze na więcej trójkątów. Trójkątne ściany rozkładają naprężenia na całą konstrukcję, a teoretycznie kopuły mogą rosnąć do bardzo dużych rozmiarów ze względu na ich sztywność i wytrzymałość. Pierwsza prawdziwa kopuła geodezyjna została zaprojektowana przez niemieckiego inżyniera Walthera Bauersfelda dla planetarium w Jenie w Niemczech, które zostało otwarte dla publiczności w 1922 roku. Pod koniec 19405 amerykański architekt R. Buckminster Fuller niezależnie wynalazł kopułę geodezyjną i otrzymał USA patent na swój projekt. Armia USA była pod takim wrażeniem jego struktur, że sprawiły, że nadzorował projektowanie kopuł do celów wojskowych. Oprócz wytrzymałości kopuły były pożądane, ponieważ miały dużą objętość przy małej powierzchni, co czyniło je wydajnymi pod względem materiałów budowlanych i zmniejszało straty ciepła. Sam Fuller przez część życia mieszkał w kopule geodezyjnej i zauważył, że jego niski opór powietrza pomoże mu wytrzymać huragany. Zawsze marzyciel, Fuller sformułował ambitny plan umieszczenia kopuły geodezyjnej o średnicy 2 mil (3,2 km) i wysokości 1 mili (1,6 km) w jej centrum, nad Nowym Jorkiem, aby można było regulować pogodę i chronić mieszkańców przed deszcz i śnieg!

James Waddell Alexander (1888-1971)

Kula Alexandra jest przykładem złożonej, splecionej powierzchni, dla której wizualnie trudno jest zdefiniować wnętrze i na zewnątrz. Wprowadzona przez matematyka Jamesa Waddella Aleksandra w 1924 r., Rogata Kula Aleksandra jest tworzona przez sukcesywnie rosnące pary rogów, które są prawie ze sobą powiązane i których punkty końcowe zbliżają się do siebie. Pierwsze kroki konstrukcji można wizualizować palcami. Przesuń kciuk i palec wskazujący każdej dłoni blisko siebie, a następnie wyhoduj mniejszy kciuk i palec wskazujący na każdej z nich i kontynuuj pączkowanie bez ograniczeń! Obiekt jest fraktalem złożonym z zazębiających się par "palców", które śledzą ortogonalne (prostopadłe) koła malejącego promienia. Chociaż trudna do wizualizacji, rogata kula Aleksandra (wraz z jej wnętrzem) jest homeomorficzna dla piłki. (Dwa obiekty geometryczne są nazywane homeomorficznymi, jeśli pierwszy może zostać zdeformowany w drugi przez rozciąganie i zginanie.) Tak więc bazowana kula Aleksandra może zostać rozciągnięta w kulę bez jej przebijania lub łamania. Martin Cardner pisze: "Nieskończenie cofające się, blokujące się klaksony tworzą na granicy to, co topolodzy nazywają" dziką strukturą "… Chociaż jest to równoważne z po prostu połączoną powierzchnią kuli, ogranicza region, który NIE JEST po prostu podłączony. Pętli elastycznego sznurka otaczającego podstawę rogu nie można usunąć ze struktury nawet po kilku krokach. " Rogata kula Aleksandra to coś więcej niż zadziwiająca ciekawość - jest to konkretny i ważny dowód, że twierdzenie Jordana-Schtinfliesa nie rozciąga się na wyższe wymiary. Twierdzenie to stwierdza, że proste zamknięte krzywe dzielą płaszczyznę na wewnętrznie ograniczony obszar i zewnętrzny niezwiązany obszar oraz że regiony te są homeomorficzne do wewnątrz i na zewnątrz koła. Twierdzenie jest nieważne w trzech wymiarach.

Stefan Banach (1892-1945), Alfred Tarski (1902-1983)

Słynny i pozornie dziwaczny paradoks Banacha-Tarskiego (BT) został po raz pierwszy ogłoszony przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku. Paradoks (który jest właściwie dowodem) pokazuje, jak można matematycznie przedstawić piłkę, złamać na kilka kawałków, a następnie ponownie ją złożyć, aby utworzyć dwie identyczne kopie piłki. Co więcej, pokazuje, jak można rozłożyć kulkę wielkości grochu, a następnie ponownie złożyć pakiety, aby uzyskać inną kulę wielkości księżyca! (W 1947 r. Robinson wykazał, że pięć to minimalna wymagana liczba sztuk.) Ten paradoks, oparty na wczesnych pracach Felixa Hausdorffa, pokazuje, że rodzaje wielkości, które można zmierzyć w naszym fizycznym wszechświecie, niekoniecznie są zachowane, gdy piłka , zgodnie z definicją matematyków, z nieskończonym zestawem punktów jest siekana na części i składana w inny sposób przy użyciu samych tłumaczeń i rotacji. W paradoksie BT niezmierzone podzbiory (części) są bardzo skomplikowane i skomplikowane, brakuje im bezpośrednich odpowiedników granic i objętości w świecie fizycznym. Paradoks nie obejmuje dwóch wymiarów, ale obejmuje wszystkie wymiary większe niż dwa. Paradoks BT zależy od Aksjomatu Wyboru (AC). Ponieważ wynik Paradoksu wydaje się tak dziwny, niektórzy matematycy sugerują, że AC musi się mylić. Z drugiej strony akceptacja AC jest tak przydatna w wielu gałęziach matematyki, że matematycy często używają jej i kontynuują swoje dowody i twierdzenia W 1939 r. genialny Banach został wybrany prezesem Polskiego Towarzystwa Matematycznego, ale kilka lat później podczas okupacji hitlerowskiej Banach zmuszony był karmić własną krwią wszy w celu niemieckiego badania chorób zakaźnych. Tarski przeszedł na katolicyzm, ponieważ Żydowi trudno byłoby zdobyć poważną pozycję na polskich uniwersytetach. Podczas II wojny światowej naziści zamordowali prawie całą jego dalszą rodzinę.

Zbigniew Moroń (1904-1971)

Trudna łamigłówka, która urzekła matematyków od co najmniej stu lat, polega na "skwadraceniu" prostokąta i kwadratu, z których ten drugi jest również znany jako "przekrój kwadratowy doskonały". Ogólnym problemem jest układanie prostokątów lub kwadratów za pomocą kwadratowych kafelków o różnych rozmiarach wyrażonych jako liczby całkowite. Może to zabrzmieć łatwo i możesz nawet eksperymentować z ołówkiem, papierem i papierem milimetrowym, ale okazuje się, że działa bardzo niewiele układów kafelków. Pierwszy kwadratowy prostokąt odkrył w 1925 r. Polski matematyk Zbigniew Moroń. W skrócie Moroń znalazł prostokąt 33 x 32, który można kafelkować za pomocą dziewięciu różnych kwadratów o długości 1,4,7, 8, 9, 10, 14, 15 i 18. Odkrył także prostokąt o wymiarach 65 x 47 wyłożony 10 płytkami kwadratowymi o długości 3, 5, 6 , 11I, 17, 19, 22, 23, 24 i 25. Przez lata matematycy twierdzili, że nie da się zbudować idealnych kwadratowych podziałów kwadratów W 1936 r. Czterech studentów Trinity College-R. L Brooks, C. A. B. Smith, A. H.Stoneń i W. T. Tutte- zafascynowali się tym tematem, a w końcu w 1940 r. ci matematycy odkryli pierwszy kwadratowy kwadrat składający się z 69 płytek! Z dalszym wysiłkiem Brooks zmniejszył liczbę płytek do 39. W 1962 r. A. J. Duivestijn udowodnił, że każdy kwadrat w kwadracie musi zawierać co najmniej 21 płytek, aw 197B znalazł taki kwadrat i udowodnił, że był to jedyny. W 1993 r. S. J. Chapman znalazł płytki pasma Mobiusa przy użyciu zaledwie 5 kwadratowych płytek. Cylinder można również kafelkować kwadratami o różnych rozmiarach, ale wymaga to co najmniej 9 płytek.

David Hilbert (1862-1943)

Wyobraź sobie zwykły hotel z 500 pokojami, z których wszystkie są zajęte przez gości. Przybywasz po południu i mówi się, że nie ma wolnych miejsc . Niestety odchodzisz tu nie ma paradoksu. Kolejny, wyobraź sobie hotel, w którym jest nieskończona liczba pokoi, z których każdy jest zajęty. Chociaż hotel jest pełny, urzędnik może dać ci pokój. Jak to może być? Później tego samego dnia przybywa niekończący się strumień klientów, a urzędnik jest w stanie dać im wszystkie pokoje, tworząc przy tym ogromną fortunę! Niemiecki matematyk David Hilbert postawił te paradoksy w latach dwudziestych XX wieku, aby zilustrować tajemnicze właściwości nieskończoności. Oto jak dostać pokój w Hilberts Grand Hotel. Gdy przyjedziesz sam do pełnego hotelu, urzędnik może dać ci pokój, przenosząc gościa znajdującego się w pokoju I do pokoju 2, a następnie przenosząc pierwotnego gościa z pokoju 2 do pokoju 3 i tak dalej. Pokój I jest teraz dla ciebie pusty. Aby pomieścić niekończący się strumień konwenansów, wszyscy są podstępnie przenoszeni do pokoi o parzystych liczbach, przenosząc oryginalnego gościa w pokoju 1 do pokoju 2, pierwotnego gościa w pokoju 2 do pokoju 4, oryginalnego gościa w pokoju 3 do pokoju 6 i tak dalej. Urzędnik może teraz przydzielić kklienów do pustych nieparzystych pomieszczeń. Paradoks Wielkiego Hotelu Hilberfs można zrozumieć, stosując teorię Liczb Pozaskończonych Cantora. Tak więc, podczas gdy w zwykłym hotelu liczba nieparzystych pokoi jest mniejsza niż całkowita liczba pokoi, w nieskończonym hotelu "liczba" nieparzystych pokoi nie jest mniejsza niż całkowita "liczba" pokoi. (Matematycy używają terminu kardynalność w odniesieniu do wielkości tych zestawów pokoi).

Karl Menger (1902-1985)

Gąbka Mengera to fraktalny obiekt z nieskończoną liczbą wgłębień - koszmarny przedmiot dla każdego dentysty do rozważenia. Obiekt został po raz pierwszy opisany przez austriackiego matematyka Karla Mengera w 1926 roku. Aby zbudować gąbkę, zaczynamy od "kostki macierzystej" i dzielimy ją na 27 identycznych mniejszych kostek. Następnie usuwamy sześcian m pośrodku i sześć sześcianów, które dzielą z nim twarze. Pozostawia to 20 kostek. Cały czas powtarzamy ten proces na zawsze. Liczba kostek wzrasta o 20n, gdzie n jest liczbą iteracji wykonanych na macierzy macierzystej. Druga iteracja daje nam 400 kostek, a zanim dojdziemy do szóstej iteracji, mamy 64 000 000 kostek. Każda powierzchnia gąbki Menger nazywa się dywanem Sierpińskiego. Fraktalne anteny oparte na dywanie Sierpińskiego są czasem wykorzystywane jako wydajne odbiorniki sygnałów elektromagnetycznych. Zarówno dywany, jak i cały sześcian mają fascynujące właściwości geometryczne. Na przykład gąbka ma nieskończoną powierzchnię, jednocześnie otaczając zerową objętość. Według Instytutu Figurowania z każdą iteracją dywanowa twarz Sierpińskiego "rozpływa się w piance, której końcowa struktura nie ma już żadnego obszaru, choć posiada nieskończenie długi obwód. Podobnie jak szkielet bestii, której ciało zniknęło, końcowa forma jest bez substancji - zajmuje płaską powierzchnię, ale już jej nie wypełnia. " Ta porowata pozostałość unosi się między linią a samolotem. Podczas gdy linia jest jednowymiarowa, a płaszczyzna dwu-wymiarowa, dywan Sierpińskiego ma wymiar "ułamkowy" 1,89. Gąbka Mengera ma wymiar ułamkowy (technicznie określany jako wymiar Hausdorffa) między płaszczyzną a bryłą, około 2,73, i została wykorzystana do wizualizacji niektórych modeli czasoprzestrzennych. Dr Jeannine Mosely skonstruowała model gąbki Menger z ponad 65 000 wizytówek, które waży około 150 funtów (70 kilogramów).

Vannevar Bush (1890--1974)

Równania różniczkowe odgrywają kluczową rolę w fizyce, inżynierii, chemii, ekonomii i wielu innych dyscyplinach. Równania te są istotne, ilekroć funkcja wyraża stale zmieniające się wielkości wraz z pewnym tempem zmian, wyrażonym jako pochodne. Tylko najprostsze równania różniczkowe dają rozwiązania wyrażone zwartymi i wyraźnymi wzorami o skończonej liczbie podstawowych funkcji, takich jak sinus i Funkcje Bessela. W 1927 roku amerykański inżynier Vannevar Bush i jego koledzy opracowali analizator różnicowy (DA), komputer analogowy ze składnikami koła i dysku, który można rozwiązać metodami integracji. równania różniczkowe z kilkoma zmiennymi niezależnymi. DA był jednym z pierwszych zaawansowanych urządzeń komputerowych wykorzystywanych w praktycznych zastosowaniach. Wcześniejsze wersje tego rodzaju urządzeń miały swoje korzenie w pracy Lorda Kelvina i jego harmonicznego analizatora (1876). W Stanach Zjednoczonych badacze pracujący w bazie sił powietrznych Wright-Patterson i Moore School of Electrical Engineering na University of Pennsylvania zbudowali urządzenia DA, częściowo do tworzenia artyleryjskich tabel strzelniczych, przed wynalezieniem ENLAC (elektroniczny integrator numeryczny i komputer ). Przez lata DA miał wiele zastosowań, od badań nad erozją gleby i budowaniem planów dla tam do projektowania bomb używanych do niszczenia tam Cennan podczas II wojny światowej. Urządzenia te pojawiły się nawet w filmach science fiction, takich jak klasyczny Earth vs. the Flying Saucers z 1956 roku! W swoim eseju z 1945 roku "We We May Think" Bush opisał swoją wizję memeksu, futurystycznej maszyny, która poprawiłaby ludzką pamięć, umożliwiając ludziom przechowywanie i wyszukiwanie informacji powiązanych przez skojarzenia, w sposób podobny do dzisiejszego hipertekstu w Internecie. Napisał: "To daleko od liczydła do nowoczesnej maszyny księgowej z klawiaturą. Będzie to równy krok do maszyny arytmetycznej przyszłości ... Ulga musi być zabezpieczona przed pracochłonną szczegółową manipulacją wyższą matematyką. Duch ludzki powinien zostać podniesiony ... "

Frank Plumpton Ramsey (1903-1930)

Teoria Ramseya dotyczy znajdowania porządku i wzorców w systemach. Autor Paul Hoffman pisze: "Ideą teorii Ramseya jest to, że całkowity nieporządek jest niemożliwy ... Każdy matematyczny "obiekt" można znaleźć, jeśli jest poszukiwany w wystarczająco dużym wszechświecie. Teoretyk Ramsey chce poznać najmniejszy wszechświat, który gwarantuje zawierać określony obiekt. " Teoria Ramseya nosi imię angielskiego matematyka Franka Ramseya. Rozpoczął tę gałąź matematyki w 1928 r., Badając problem z logiką. Jak zasugerował Hoffman, teoretycy Ramseya często szukają liczby elementów w systemie, które są niezbędne do właściwego utrzymania konkretnego. Z wyjątkiem niektórych interesujących prac Paula Erdosa, dopiero pod koniec lat 50. XX wieku badania teorii Ramseya zaczęły robić szybki postęp. Jeden przykład najprostszej aplikacji dotyczy zasady Szuflady, która stwierdza, że jeśli mamy m gołębi i n gołębi, możemy być pewni, że co najmniej jeden dom ma więcej niż gołębi , jeśli n> m. Dla bardziej skomplikowanego przykładu. rozważ rozrzucenie n punktów na papierze. Każdy punkt jest połączony z każdym innym punktem za pomocą linii prostej, która jest czerwona lub niebieska. Twierdzenie Ramseya - które jest jednym z podstawowych rezultatów w kombinacjach i teorii Ramseya - pokazuje, że n musi wynosić 6, aby zapewnić, że na papierze pojawi się niebieski lub czerwony trójkąt. Inny sposób myślenia o teorii Ramseya dotyczy tak zwanego problemu partyjnego. Na przykład, jaka jest najmniejsza parafialna gwarancja, że ma co najmniej 3 uczestników, którzy są (parami) wzajemnymi nieznajomymi, lub co najmniej 3 z nich, którzy są (parami) wzajemnych znajomych? Odpowiedź brzmi: 6. Ustalenie wielkości imprezy niezbędnej do zapewnienia obecności co najmniej 4 wspólnych znajomych lub co najmniej 4 wspólnych nieznajomych jest znacznie trudniejsze, a rozwiązania dla większych grup mogą nigdy nie być znane

Kurt Gödel (1906-1978)

Austriacki matematyk Kurt Gödel był wybitnym matematykiem i jednym z najwybitniejszych logików XX wieku. Implikacje jego twierdzenia o niekompletności są ogromne, dotyczą nie tylko matematyki, ale także dotykają takich dziedzin, jak informatyka, ekonomia i fizyka. Kiedy Gödel był na Uniwersytecie Princeton, jednym z jego najbliższych przyjaciół był Albert Einstein. Twierdzenie Gödel, opublikowane w 1931 r., otrzeźwiło logików i filozofów, ponieważ implikuje, że w ramach sztywno logicznego systemu matematycznego istnieją zdania lub pytania, których nie można udowodnić ani obalić na podstawie aksjomatów z tym systemem i dlatego możliwe jest, że podstawowe aksjomaty antymetryczne mogą wywoływać sprzeczności. To sprawia, że matematyka jest zasadniczo kompletna. Następstwa tego faktu są nadal odczuwalne i dyskutowane. Ponadto twierdzenie Gödela położyło kres wiekom próbom ustanowienia aksjomatów, które zapewniłyby rygorystyczną podstawę dla całej matematyki. Autor Hao Wang pisze na ten temat w swojej książce Refleksje na temat Kurta Gödel: "Wpływ idei naukowych i spekulacji filozoficznych Kodeksu rośnie, a wartość ich potencjalnych implikacji może nadal rosnąć, może to potrwać setki lat za pojawienie się bardziej jednoznacznych potwierdzeń lub obaleń niektórych z jego większych zbiorów. "Douglas Hofstadter zauważa, że drugie twierdzenie Gödela sugeruje również nieodłączne ograniczenie systemów matematycznych i" implikuje, że jedyne wersje formalnej teorii liczb, które utrzymują własną spójność są niespójne. "W 1970 r. matematyczny dowód istnienia Coda zaczął krążyć wśród jego kolegów. Dowód był mniejszy niż wiekowy i dość zamieszany. Pod koniec życia Gödel był paranoikiem i czuł, że ludzie próbują go otruć. Przestał jeść i zmarł w 1978 roku. W ciągu swojego życia cierpiał także na załamania nerwowe i hipochondrię.

David Gawen Champemowne (1912-2000)

Gdybyśmy połączyli razem dodatnie liczby całkowite, 1,2, 3, 4, ... i prowadzącą kropką dziesiętną, otrzymalibyśmy liczbę Champemowne′a, 0.1234567891011121314 .... jak π i e, liczba Champernowne′ jest transcendentalna - to znaczy nie jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wiemy również, że liczba ta jest "normalna" o podstawie 10, co oznacza, że każdy skończony wzór liczb występuje z częstotliwością oczekiwaną dla sekwencji całkowicie losowej. David Champernowne wykazał, że liczba ta jest normalna, pokazując, że nie tylko cyfry od 0 do 9 pojawią się dokładnie z częstotliwością 10 procent w limicie, ale każdy możliwy blok dwóch cyfr wystąpi z częstotliwością 1 procent w limicie, każdy blok pojawią się trzy cyfry z częstotliwością 0,1 procent i tak dalej. Kryptografowie zauważyli, że liczba Champemowne′a nie wyzwala jednych z najprostszych, tradycyjnych statystycznych wskaźników nielosowości. Innymi słowy, programy komputerowe Simple, które próbują znaleźć prawidłowość w sekwencjach, mogą nie "zobaczyć" prawidłowości w liczbie Champemowne. Ten deficyt potwierdza pogląd, że statystycy muszą być bardzo ostrożni, gdy deklarują, że sekwencja jest losowa lub bez wzoru. Liczba Champernowne jest pierwszym skonstruowanym przykładem liczby normalnej. Została wyprodukowany w 1933 roku przez Davida Champernowne, gdy był jeszcze studentem Uniwersytetu Cambridge. W 1937 r. matematyk z Gennan, Kurt Mahler, udowodnił, że stała Champernowne jest transcendentalna. Dziś wiemy, że binarna stała Champernowne, uzyskana przez połączenie binarnych (0 i 1) reprezentacji liczb całkowitych, nie jest podstawowa o bazie 2. Hans Von Baeyer sugeruje, że tłumacząc kod zer i jedynek na kod Morse′a, każda możliwa skończona sekwencja słów jest pochowana gdzieś w nużącym gobbledygooku struny ... każdy list miłosny i każda powieść, jaką kiedykolwiek napisano ... Być może będziesz musiał podróżować wzdłuż sznurka przez miliardy lat świetlnych, zanim je znajdziesz, ale wszystkie one są wszystkie gdzieś tam ...

Henri Cartan (1904-2008), Claude Chevalley (1909-1984), Szolem Mandelbrojt (1899-1983), Andre Weil (1906-1998) i inni

Historyk nauki Amir Aczel napisał kiedyś, że Nicolas Bourbaki był "największym matematykiem XX wieku", który "zmienił nasze myślenie o matematyce ... Był odpowiedzialny za pojawienie się" nowej matematyki ", która przeszła przez amerykańską edukację w połowie stulecia ... "Jego traktaty" stanowią ogromną podstawę dla większości współczesnej matematyki ... Nie działa matematyk ... dziś jest wolny od wpływu przełomowego dzieła Nicolasa Bourbakiego. "Jednak Bourbaki, genialny matematyk i autor dziesiątek uznanych dzieł, nigdy nie istniał! Bourbaki nie był indywidualnym, ale raczej tajnym stowarzyszeniem matematyków , prawie wszyscy Francuzi, założonym w 1935 roku. Grupa próbowała stworzyć całkowicie samodzielne, niezwykle logiczne i rygorystyczne podejście do całej niezbędnej nowoczesnej matematyki - od początku do końca - publikując książki na temat teorii mnogości, algebry, topologii, funkcji, integracji , itp. Wśród członków tajnej grupy znaleźli się wspaniali matematycy : Henri Cartan, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Claude Chevalley, Jean Dieudonne, Charles Ehresmann, Rene de Possel, Szolem Mandelbrojl i Andre Weil. Członkowie czuli, że starsi matematycy niepotrzebnie przywiązują się do starych praktyk, dlatego członkowie Bourbaki musieli zrezygnować przed 50 rokiem życia. Pisząc swoje wspólne książki, każdy członek miał prawo zawetować wszelkie aspekty które uznał za niewłaściwe. Nastąpiły krzyki. Na każdym spotkaniu ich prace będą czytane na głos i analizowane, linia po linii. W 1983 roku Bourbaki opublikował swój ostatni tom, zatytułowany Spectral Theory. Dziś L′Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki nadal organizuje seminaria Bourbaki każdego roku. Autor Maurice Mashaal napisał, że "Bourbaki nigdy nie wymyślił rewolucyjnych technik ani nie udowodnił wielkich twierdzeń - i nie próbował tego zrobić. To, co przyniosła grupa… była nową wizją matematyki, głęboką reorganizacją i deklaracją jej składników, świadome terminologia i notacja oraz charakterystyczny styl ".

John Charles Fields (1863-1932)

Medal Fields jest najbardziej znaną i wpływową nagrodą w matematyce. Podobnie jak Nagroda Nobla za inne dziedziny osiągnięć, Medal Fields wyrósł z chęci podniesienia matematyki ponad działania wojenne na szczeblu krajowym. Medal przyznawany jest co cztery lata i nagradza wcześniejsze osiągnięcia oraz stymuluje przyszłe badania. Nagroda ta jest czasem nazywana "Nagrodą Nobla matematyków", ponieważ nie przyznano żadnej nagrody Nobla w dziedzinie matematyki; jednak medal Fields jest przyznawany tylko matematykom w wieku 40 lat i młodszym. Kwota pieniężna jest stosunkowo niewielka, tylko około 13 500 USD w 2006 r. W porównaniu z Nagrodą Nobla, która wynosi ponad 1 milion USD. Nagroda została ustanowiona przez kanadyjskiego matematyka Johna Charlesa Fieldsa i po raz pierwszy przyznana w 1936 roku. Kiedy zmarł Fields, jego wola określała, że do funduszy na złoty medal zostanie dodanych 47 000 $. Front medalu przedstawia greckiego geometra Archimedesa. Łacińska fraza na odwrocie przekłada się na: "Matematycy, którzy zgromadzili się z całego świata, nagrodzili [ten medal] za wybitne pisma". Matematyk Alexander Grothendieck zbojkotował własną ceremonię wręczenia Medalu Fields w 1966 r., Ponieważ odbył się on w Moskwie i chciał zaprotestować przeciwko sowieckiej obecności wojskowej w Europie Wschodniej. [w 2006 r. rosyjski matematyk Grigorij Perelman odrzucił nagrodę, gdy otrzymał medal za "swój wkład w geometrię i rewolucyjny wgląd w analityczną i geometryczną strukturę przepływu Ricciego", co doprowadziło do potwierdzenia hipotezy Poincarego. Odmówił, mówiąc, że nagroda nie ma znaczenia. Co ciekawe, około 25 procent medalistów było Żydami, a prawie połowa odbyła spotkania w Institute for Advanced Study w Princeton w stanie New Jersey. Alfred Nobel (1833-1896), szwedzki chemik i wynalazca dynamitu, stworzył Nagrodę Nobla; jednak ponieważ był wynalazcą i przemysłowcem, nie ustanowił nagrody w matematyce. ponieważ osobiście nie interesował się matematyką ani naukami teoretycznymi

Alan Turing (1912-1954)

Alan Turing był genialnym matematykiem i teoretykiem komputerów, który został zmuszony do zostania ludzką świnką morską i poddany eksperymentom narkotykowym w celu "odwrócenia" swojego homoseksualizmu. Prześladowania te miały miejsce pomimo faktu, że jego łamanie kodu pomogło skrócić II wojnę światową i doprowadziło do przyznania Orderu Imperium Brytyjskiego. Kiedy Turing wezwał policję w celu zbadania włamania do jego domu w Anglii, homofobiczny policjant podejrzewał, że Turing był homoseksualistą. Turing został zmuszony albo na rok do więzienia, albo do eksperymentalnej terapii narkotykowej. Aby uniknąć więzienia, zgodził się na zastrzyki hormonu estrogenu przez rok. Jego śmierć w wieku 42 lat, dwa lata po aresztowaniu, była szokiem dla jego przyjaciół i rodziny. Turinga znaleziono w łóżku. Sekcja zwłok spowodowała zatrucie cyjankiem. Być może popełnił samobójstwo, ale do dziś nie jesteśmy pewni. Wielu historyków uważa Turinga za "ojca współczesnej informatyki". W swoim przełomowym artykule "O liczbach obliczalnych z zastosowaniem problemu Entscheidunga" (napisanego w 1936 r.) udowodnił, że maszyny Turinga (abstrakcyjne urządzenia do manipulacji symbolami) byłyby w stanie wykonać każdy możliwy problem matematyczny, który jest przedstawiany jako algorytm. Maszyny Turinga pomagają naukowcom lepiej zrozumieć granice obliczeń. Turing jest także pomysłodawcą testu Turinga, który zmusił naukowców do wyraźniejszego zastanowienia się, co to znaczy nazywać maszynę "inteligentną" i czy maszyny mogą kiedyś "myśleć". Turing wierzył, że maszyny ostatecznie zdadzą swój test, pokazując, że mogą rozmawiać z ludźmi w tak naturalny sposób, że ludzie nie potrafią stwierdzić, czy rozmawiają z maszyną, czy z człowiekiem. W 1939 r. Turing wynalazł maszynę elektromechaniczną, która mogłaby pomóc złamać nazistowskie kody produkowane przez ich maszynę Enigma. Maszyna Turinga, zwana "Bombe", została ulepszona przez matematyka Gordona Welchmana i stała się głównym narzędziem do odszyfrowywania komunikacji Enigmy.

Heinz Voderberg (1911-1942)

Teselacja lub układanie płaszczyzny składa się z zestawu mniejszych kształtów, zwanych kafelkami, który wypełnia powierzchnię bez nakładania się i szczelin między płytkami. Być może najbardziej oczywistymi teselacjami są te widoczne na podłogach wyłożonych kafelkami, w których płytki mają kształt kwadratów lub sześciokątów. Sześciokątne kafelkowanie JEST podstawową strukturą plastra miodu, być może "użyteczną" dla pszczół ze względu na efektywność tego kafelkowania w siatkach materiału wymaganego do utworzenia sieci komórek w danym obszarze. Istnieje osiem różnych teselacji płaszczyzny, które wykorzystują dwa lub więcej regularnych wielokątów wypukłych, tak że te same wielokąty w tej samej kolejności otaczają każdy wierzchołek wielokąta. Teselacje są powszechne w sztuce holenderskiego artysty M. C. Eschera, a także w starożytnej sztuce islamskiej. W rzeczywistości teselacje mają tysiące lat i można je przypisać cywilizacji sumeryjskiej (około 4000 lat p.n.e.), w której ściany budynków zdobiono kafelkami wykonanymi z gliny. Płytka Voderberg. odkryty przez Heinza Voderberga w 1936 roku, jest wyjątkowa, ponieważ jest to najwcześniej znana spiralna teselacja samolotu. Atrakcyjny wzór wykonany jest z pojedynczej powtarzającej się płytki w kształcie nieregularnego kształtu, czyli wielokąta runicznego. Gdy nonagon się powtarza, tworzy nieskończony spiralny pasek, który po połączeniu z innym paskiem pokrywa płaszczyznę bez przerw. Płytka Voderberg jest określana jako jednorodna, ponieważ jest teselacją, w której wszystkie płytki są takie same. W latach 70. matematycy Branko Grlinbaum i Geoffrey C. Shephard omawiali wspaniały nowy zestaw spiralnych kafelek. Ich płytki mogą być użyte do wytworzenia jedno-, dwu-, trzy- i sześcioramiennych spiral, które układają płytki na płaszczyźnie. W 1980 roku Marjorie Rice i Doris Schattschneider opisali dodatkowe sposoby tworzenia spiralnych płytek, zawierających wiele ramion, z pięciokątnych płytek.

Lothar Collatz (1910-1990)

Wyobraź sobie, że chodzisz w oślepiającym gradobiciu, podczas którego gradobicie dryfuje w górę i w dół w pasmach i wirach wiatru. Czasami kamienie wystrzeliwują jak najdalej, jak okiem sięgnąć, a następnie spadają na Ziemię, uderzając w ziemię jak małe meteoryty. Problemy z liczbą gradową fascynowały matematyków od kilku dziesięcioleci i są badane, ponieważ są tak proste do obliczenia, ale pozornie trudne do rozwiązania. Aby obliczyć sekwencję liczb gradowych - zwanych także liczbami 3n + 1 - zacznij od wybrania dowolnej dodatniej liczby całkowitej. Jeśli liczba jest parzysta, podziel ją przez 2. Jeśli jest nieparzysta, pomnóż ją przez 3 i dodaj 1. Następnie weź swoją odpowiedź i powtórz regułę. Na przykład sekwencja gradowa dla 3 to 3, 10, 5, 16,8,4,2, 1,4, ... ("..." wskazuje, że sekwencja trwa wiecznie jako 4, 2, 1 , 4, 2, 1,4 itd.) Podobnie jak gradobicie spadające z nieba przez burzowe chmury, ta sekwencja dryfuje w dół i w górę, czasem w pozornie przypadkowych wzorach. Również, podobnie jak grad, liczby gradowe zawsze wydają się w końcu cofać aż do "ziemi" (liczba całkowita "1"). Przypuszczenie Collatza, nazwana na cześć niemieckiego matematyka Lothara Collatza, który ją zaproponował w 1937 roku, stwierdza, że proces ten ostatecznie przypadnie mi na każdą początkową liczbę całkowitą dodatnią. Do tej pory matematycy nie znaleźli sposobu na udowodnienie tej przypuszczenia, chociaż przypuszczenie to zostało sprawdzone przez komputer pod kątem wszystkich wartości początkowych do 19 x 2⁵⁸ = 5,48 x 10¹⁸ Różne nagrody zostały przyznane temu, kto może udowodnić lub obalić przypuszczenie. Matematyk Paul Erdos skomentował złożoność liczb 3n + 1: "Matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy". Sympatyczny i skromny Collatz otrzymał wiele wyróżnień za swój wkład w matematykę i zmarł w 1990 r. w Bułgarii, biorąc udział w konferencji matematycznej dotyczącej arytmetyki komputerowej

Lester Randolph Ford, Sr. (1886-1975)

Wyobraź sobie piankowy koktajl mleczny z nieskończoną liczbą bąbelków wszystkich rozmiarów, dotykających się, ale nie przenikających. Pęcherzyki stają się mniejsze i mniejsze, zawsze wypełniając pęknięcia i odstępy między większymi. O pewnej formie takiej tajemniczej piany dyskutował matematyk Lester Ford w 1938 roku i okazuje się, że charakteryzują one samą strukturę naszego "racjonalnego" systemu liczb. (Liczby wymierne to liczby takie jak 1/2, które można wyrazić jako ułamki). Aby utworzyć pianę Forda, zacznij od wybrania dwóch dowolnych liczb całkowitych, h i k. Narysuj okrąg o promieniu 1/(2k²) i wycentrowany na (h/k, 1/(2k²). Na przykład, jeśli wybierzesz h = 1 i k = 2, narysujesz okrąg wyśrodkowany na (0,5, 0,125) i o promieniu 0,125. Kontynuuj umieszczanie kółek dla różnych wartości ręki k. Gdy twoje zdjęcie stanie się gęstsze, zauważ, że żaden z twoich kręgów się nie przecina, chociaż niektóre będą styczne do siebie (to znaczy po prostu pocałujcie się). Każde koło ma nieskończoną liczbę kręgów, które go całują. Rozważ boskiego łucznika umieszczonego nad pianą Forda o odpowiednio dużej wartości y. Aby zasymulować wystrzelenie strzały, narysuj pionową linię od położenia łucznika (na przykład x = a) do osi x. (Ta linia jest prostopadła do osi x). Jeśli a jest liczbą wymierną, linia musi przebić jakiś okrąg Forda i uderzyć w poziomą oś x dokładnie w punkcie styczności okręgu. Jednak gdy pozycja łucznika jest liczbą nieracjonalną (niepowtarzalna, nieskończona wartość dziesiętna, taka jak π = 3,1415 ...), musi opuścić każdy krąg, do którego wchodzi, a następnie musi wejść do innego kręgu. Zatem strzała łucznika musi przejść przez nieskończoność kół! Głębsze badania matematyczne kół Forda pokazują, że zapewniają one doskonałe wizualizacje różnych poziomów nieskończoności i Pozaskończone Liczb Cantora.

William Thomson, Baron Kelvin z Largs (1824-1907), Sir Maurice George Kendall (1907-1983), Bernard Babington Smith (zm. 1993), Leonard Henry Caleb TIppett (1902-1985), Frank Yates (1902-1995), Sir Ronald Aylmer Fisher, FRS (1890--1962)

We współczesnej nauce generatory liczb losowych są przydatne w symulacji zjawisk naturalnych i próbkowaniu danych. Przed powstaniem współczesnych komputerów elektronicznych badacze musieli być kreatywni w podejściu do uzyskiwania liczb losowych. Na przykład w 1901 r. Lord Kelvin użył liczb zapisanych na małych papierach wyciągniętych z miski do wygenerowania liczb losowych. Jednak uznał to podejście za "niezadowalające", pisząc: "Najlepsze mieszanie, jakie mogliśmy zrobić w misce, wydawało się dość niewystarczające, aby zapewnić równe szanse dla wszystkich kartek". W 1927 r. Brytyjski statystyk Leonard Tippett dostarczył badaczom tabelę 41 600 losowych cyfr, które skonstruował, biorąc środkowe cyfry liczb reprezentujących obszar parafii w Anglii. W 1938 r. Brytyjscy statystycy Ronald Fischer i Frank Yates opublikowali 15 000 dodatkowych liczb losowych, używając dwóch talii kart do gry do wybierania cyfr w logarytmach. W 1938 i 1939 r. Brytyjski statystyk Maurice Kendall rozpoczął badania z brytyjskim psychologiem Bernardem Babingtonem Smithem, aby uzyskać losowe liczby za pomocą maszyny. Ich maszyna do randomizacji była pierwszym takim urządzeniem mechanicznym, które posłużyło do stworzenia tabeli 100 000 losowych cyfr. Sformułowali także serię rygorystycznych testów w celu ustalenia, czy cyfry rzeczywiście są statystycznie losowe. Liczby Kendalla i Smitha były powszechnie używane do czasu opublikowania przez RAND Corporation A Million Random Digits ze 100 000 Nonnol Deviates w 1955 roku. RAND użył maszyny przypominającej ruletkę podobnej do maszyny Kendall i Smitha i zweryfikował cyfry jako statystycznie losowe przy użyciu podobnej matematyki testy. Kendall i Smith zastosowali silnik podłączony do okrągłego kawałka tektury o średnicy około 10 cali (25 centymetrów). Dysk został podzielony na 10 segmentów "o takiej samej wielkości, jak moglibyśmy je wykonać", ponumerowanych kolejno od 0 do 9. Dysk został oświetlony lampą neonową. Kondensator naładowany i lampa ostatecznie wytworzyła błysk. Operator maszyny losującej zobaczy numer i zapisze go.

Richard von Mises (1883-1953)

Martin Gardner pisze: "Od początku historii niezwykłe zbiegi okoliczności wzmocniły wiarę w wpływ na życie sił okultystycznych. Wydarzenia, które wydawały się w cudowny sposób naruszać prawa prawdopodobieństwa, były przypisywane woli bogów lub diabłów, Boga lub Szatana, lub przynajmniej tajemnicze prawa nieznane nauce i matematyce ". Jednym z problemów, który zaintrygował badaczy zbiegu okoliczności, jest paradoks urodzin. Wyobraź sobie, że jesteś w dużym salonie, do którego ludzie stopniowo wchodzą. Ile osób musi być w pokoju, zanim prawdopodobieństwo, że niektórzy będą współdzielić urodziny, wynosi co najmniej 50 procent? Problem ten, postawiony w 1939 r. przez urodzonego w Austrii amerykańskiego matematyka Richarda von Misesa, jest znaczący, ponieważ jego rozwiązanie jest sprzeczne z intuicją dla większości ludzi, ponieważ jest jednym z najczęściej badanych problemów prawdopodobieństwa w salach lekcyjnych i ponieważ odmiany problemu urodzinowego służą jako przydatne modele do analizy niesamowitych zbiegów okoliczności w życiu codziennym. Zakładając 365 dni w roku, odpowiedzią na problem jest zaledwie 23 osoby. Innymi słowy, jeśli pokój jest wypełniony 23 lub więcej losowo wybranymi osobami, istnieje ponad 50 procentowe prawdopodobieństwo, że niektóre pary osób będą miały w tym czasie urodziny. Dla 57 lub więcej osób prawdopodobieństwo wynosi ponad 99 procent. Prawdopodobieństwo wynosi 100 procent, jeśli w pokoju jest co najmniej 366 osób, ze względu na zasadę Szuflady. Zakładamy, że 365 możliwych urodzin jest równie prawdopodobne, a dni przestępne są ignorowane. Wzór na obliczenie prawdopodobieństwa co najmniej dwóch spośród n osób mających te same urodziny wynosi 1- [365! / [365ⁿ(365 - n)!], którą można aproksymować 1- e^{-n2/(2 365)} ). Tylko 23 osoby może być mniej, niż się spodziewałeś, ponieważ nie szukaliśmy dwóch konkretnych osób ani określonej daty urodzenia. Dopasowanie w dowolnym dniu dla dwóch osób jest wystarczające. W rzeczywistości możliwe jest 253 różnych par między 23 osobami, z których każdy może doprowadzić do dopasowania.

Edward Kasner (1878-1955), James Roy Newman (1907-1966)

Narysuj okrąg o promieniu 1 cala (około 2,5 centymetra). Następnie opisz (otaczaj) okrąg trójkątem równobocznym. Następnie opisz trójkąt innym okręgiem. Następnie opisz ten drugi okrąg za pomocą kwadratu. Kontynuuj z trzecim okręgiem, opisując kwadrat. Opisz ten krąg regularnym pięciokątem. Kontynuuj tę procedurę bez końca, za każdym razem zwiększając liczbę boków regularnego wielokąta o jeden. Każdy inny użyty kształt to okrąg, który stale powiększa się, otaczając zespół poprzedników. Jeśli miałbyś powtórzyć ten proces, zawsze dodawaj większe kręgi z prędkością koła na minutę, jak długo by to trwało przyjęcie, że największy okrąg ma promień równy promieniowi naszego Układu Słonecznego? Przez ciągłe otaczanie kształtów okręgami wydaje się, że promienie powinny rosnąć coraz bardziej, stając się nieskończonym, gdy będziemy kontynuować proces. Jednak zespół zagnieżdżonych wielokątów i kół nigdy nie będzie tak duży jak Układ Słoneczny, nigdy nie będzie tak duży jak Ziemia, nigdy nie będzie tak duży jak typowa opona rowerowa dla dorosłych. Chociaż koła początkowo rosną bardzo szybko, tempo wzrostu stopniowo zwalnia, a promienie powstających kół zbliżają się do wartości granicznej podanej przez nieskończony iloczyn: R = 1/[cos(π/3) x cos(π/4) x cos (π/5)…]. Być może najbardziej intrygujący był spór o ograniczającą wartość R. Wydaje się ,że wystarczająco prosta do obliczenia. Według matematyków Edwarda Kasnera i Jamesa Newmana, którzy po raz pierwszy podali wartość w latach 40. XX wieku, R jest w przybliżeniu równa 12. Wartość 12 jest również wspomniana w niemieckim artykule opublikowanym w 1964 r. Christoffel J. Bouwkamp opublikował artykuł w 1965 r. zgłasza prawdziwą wartość R = 8,7000. Fascynuje mnie to, że do 1965 r. matematycy nadal zakładali, że poprawna wartość R wynosiła 12. Prawidłowa wartość R z 17 cyframi to 8,7000366252081945 ...

Piet Hein (1905-1996), John Forbes Nash, Jr. (1928-2015)

Hex to gra planszowa dla dwóch graczy, rozgrywana na sześciokątnej siatce, zwykle w kształcie diamentu 11 x 11. Został wynaleziony przez duńskiego matematyka i poetę Piet Heina w 1942 roku i niezależnie przez amerykańskiego matematyka Johna Nasha w 1947 roku. Nash, laureat Nagrody Nobla, jest prawdopodobnie najbardziej znany publiczności jako temat hollywoodzkiego filmu A Beautiful Mind, który podkreśla jego matematyka i walka ze schizofrenią. Według książki A Beautiful Mind, Nash promował planszę 14 x 14 jako optymalny rozmiar. Gracze używają elementów o różnych kolorach (na przykład czerwonego i niebieskiego) i umieszczają je alternatywnie w sześciokątnych komórkach. Celem Reda jest uformowanie czerwonej ścieżki łączącej dwie przeciwne strony planszy. Celem Blue jest uformowanie ścieżki łączącej pozostałe przeciwne strony. Cztery narożne sześciokąty należą do obu stron. Nash odkrył, że gra nigdy nie może zakończyć się remisem, a gra faworyzuje pierwszego gracza, który może mieć zwycięską strategię. Jednym ze sposobów uczynienia gry bardziej sprawiedliwą jest umożliwienie drugiemu graczowi wybrania koloru po tym, jak pierwszy gracz wykona pierwszy ruch lub po pierwszych trzech ruchach. W 1952 roku Parker Brothers wprowadził na rynek wersję gry, w której używa się sześciokątnych elementów do gry. Zwycięska strategia dla pierwszego gracza została pokazana dla kilku rozmiarów plansz. Chociaż gra wydaje się prosta, matematycy wykorzystali ją do głębszych zastosowań, takich jak udowodnienie twierdzenia Brouwer FiXed-Point. Hein zasłynął na całym świecie ze swoich projektów, wierszy i gier matematycznych. Kiedy Niemcy najechali Danię w 1940 roku, został zmuszony do zejścia do podziemia, ponieważ był szefem grupy antynazistowskiej. W 1944 roku wyjaśnił swoje twórcze podejście: "Sztuka jest rozwiązaniem problemów, których nie da się jasno sformułować przed ich rozwiązaniem".

John Scarne (ur. Orlando Carmelo Scarnecchia) (1903-1985)

Pig to gra o prostych zasadach, ale z zaskakująco złożonymi strategiami i analizami. Ma to znaczenie jako metafora wielu pozornie prostych problemów, które doprowadziły do bogatych badań matematycznych po latach, oraz jako narzędzie dydaktyczne używane przez wielu nauczycieli podczas omawiania strategii gry. Pig została po raz pierwszy opisana w druku w 1945 roku przez Johna Scarne′a amerykańskiego magika, eksperta gry, manipulatora kart i wynalazcę - ale gra ma swoje korzenie w starszych "grach ludowych" z kilkoma odmianami. Aby zagrać w Pig, gracz rzuca kością, dopóki albo nie zostanie wyrzucona 1, albo gracz "zatrzyma" i nie zliczy sumy rzutów podczas swojej tury. Jeśli gracz rzuci 1, nic nie jest dodawane do wyniku gracza podczas swojej tury, a przeciwnik ma teraz swój brzuch. Pierwszy gracz, który uzyska wynik 100 lub więcej wygrywa. Przykład: Rzucisz 3. Zdecydujesz się rzucić ponownie i rzucasz 1. Tak więc nie dodajesz nic do swojego wyniku i podajesz kość przeciwnikowi. Rzuca sekwencją 3 - 4 - 6 i decyduje się zatrzymać. W ten sposób dodaje 13 do swojego wyniku i oddaje ci kość. Pig jest uważana za "niebezpieczną" grę w kości, ponieważ gracze muszą zdecydować, czy powinni zagrozić poprzednim zyskom, rzucając na ewentualne dodatkowe korzyści. W 2004 roku informatycy Todd W. Neller i Clifton Presser z Gettysburg College w Pensylwanii szczegółowo przeanalizowali Pig, aby wyjaśnić strategię optymalnej gry. Wykorzystując matematykę i grafikę komputerową, odkryli złożoną, nieintuicyjną strategię wygrywania i pokazali, dlaczego gra w celu zmaksymalizowania punktów za Pojedynczy tum wyraźnie różni się od gry, aby wygrać. O swoich odkryciach i wizualizacjach optymalnych polityk piszą poetycko: "Widzenie" krajobrazu "tej polityki jest jak ostre ujrzenie powierzchni odległej planety po raz pierwszy, po uprzednim obejrzeniu tylko rozmytych obrazów".

John Mauchly (1907-1980) i J. Presper Eckert (1919-1995)

ENIAC, skrót od Electronic Numerical Integrator and Computer, został zbudowany na University of Pennsylvania przez amerykańskich naukowców Johna Mauchly i J. Prespera Eckerta. To urządzenie było pierwszym elektronicznym, reprogramowalnym komputerem cyfrowym, który można wykorzystać do rozwiązania wielu problemów komputerowych. Pierwotnym celem ENIAC było obliczenie tabel ostrzałów artyleryjskich dla armiiUSA. Anny; jednak jego pierwsze ważne zastosowanie dotyczyło zaprojektowania bomby wodorowej. ENIAC został zaprezentowany w 1946 r., Kosztując prawie 500 000 USD, i był używany prawie nieprzerwanie, dopóki nie został wyłączony 2 października 1955 r. Maszyna zawierała ponad 17 000 lamp próżniowych i około 5 milionów ręcznie lutowanych połączeń. Do wejścia i wyjścia wykorzystano czytnik kart IBM i automat do dziurkowania kart. W 1997 r. Zespół studentów inżynierii pod kierunkiem profesora Jana Van der Spiegela stworzył "replikę" 30-tonowego ENIAC na jednym zintegrowanym układzie! Inne ważne elektryczne maszyny obliczeniowe z lat 30. i 40. XX wieku to amerykański komputer Atanasoff-Berry (demonstrowany w grudniu 1939 r.), Niemiecki Z3 (demonstrowany w maju 1941 r.) Oraz komputer British Colossus (demonstrowany w 1943 r.); jednak te maszyny albo nie były w pełni elektroniczne, albo nie miały ogólnego zastosowania. Autorzy patentu ENIAC (nr 3120606; złożony w 1947 r.) Piszą: "Wraz z nadejściem codziennego stosowania skomplikowanych obliczeń prędkość stała się tak ważna, że na rynku nie ma obecnie maszyny zdolnej do spełnienia pełne zapotrzebowanie na współczesne metody obliczeniowe… Niniejszy wynalazek ma na celu skrócenie do sekund takich długich obliczeń… "Obecnie korzystanie z komputera zaatakowało większość dziedzin matematyki, w tym analizę numeryczną, teorię liczb i teorię prawdopodobieństwa. Matematycy oczywiście coraz częściej korzystają z komputerów w swoich badaniach i nauczaniu, czasami wykorzystując grafikę komputerową w celu uzyskania wglądu. Słynne matematyczne dowody zostały wykonane przy pomocy komputera.

John von Neumann (1903-1957)

Naukowcy używają generatorów liczb losowych do rozwiązywania wielu różnych problemów, takich jak opracowywanie tajnych kodów, modelowanie ruchu atomów i przeprowadzanie dokładnych badań. Generator liczb pseudolosowych (PRNG) to algorytm, który wytwarza sekwencję liczb naśladującą właściwości statystyczne liczb losowych. Metoda środkowego kwadratu opracowana przez matematyka Johna von Neumanna w 1946 roku, jest jednym z najbardziej znanych i najwcześniejszych komputerowych programów PRNG. Zaczął od liczby, takiej jak 1946, i podniósł do kwadratu, aby uzyskać 3786916, który można zapisać jako 03786916. Usunął środkowe cztery cyfry, 7869, i zapoczątkował proces kwadratyzacji i usuwania. W praktyce von Neumann używał liczb 10 -cyfrowych i przestrzegał tych samych zasad. Von Neumann, znany ze wspólnych badań nad reakcjami termojądrowymi, które doprowadziły do bomby wodorowej, zrozumiał, że jego proste losowe podejście ma wady i że sekwencje w końcu się powtórzą, ale był zadowolony z metody dla wielu zastosowań. W 1951 r. Von Neumann ostrzegł użytkowników tych schematów: "Każdy, kto rozważa arytmetyczne metody tworzenia losowych cyfr, jest oczywiście w stanie grzechu". Niemniej jednak wolał to podejście od lepiej opartych na sprzęcie generatorów liczb losowych, które nie rejestrowały swoich wartości, co utrudnia powtarzanie procedur w celu zidentyfikowania problemów. W każdym razie von Neumann nie miał dostępu do wystarczającej pamięci komputera do przechowywania wielu "losowych" wartości. Rzeczywiście, jego cudownie proste podejście wygenerowało liczby na komputerze ENIAC setki razy szybciej niż odczyt liczb z kart dziurkacza. Nowsze i przydatne PRNG wykorzystują liniową metodę kongruencjalną postaci X_n+1 = (aX_n + c) mod m. W tym przypadku n ≥ 0, a jest mnożnikiem, modułem, przyrostem c, a X₀ wartością początkową. Algorytm PRNG, opracowany w 1997 r. Przez Makoto Matsumoto i Takuji Nishimurę, jest również pożądany w wielu współczesnych aplikacjach

Frank Gray (1887-1969), Emile Baudot (1845-1903)

Kod Greya reprezentuje liczby w notacji pozycyjnej, tak więc gdy liczby są w kolejności odliczania, każda sąsiednia para liczb będzie się różnić jedną cyfrą o 1 i tylko w jednej pozycji. Na przykład 182 i 172 mogą być liczbami zliczającymi przylegającymi w dziesiętnym kodzie Cray (środkowe cyfry różnią się o 1), ale nie 182 i 162 (żadna cyfr nie różni się o 1), ani 182 i 173 (więcej niż jedna para cyfr różni się o 1). Jeden prosty, znany i użyteczny kod Cray nazywa się odbijanym binarnym kodem Gray, który składa się tylko z zer i jedynek. Martin Cardner wyjaśnia, że aby przekonwertować standardową liczbę binarną na jej odzwierciedlony odpowiednik Gray, najpierw badamy cyfrę najbardziej na prawo, a następnie rozważamy każdą cyfrę . Następna cyfra po lewej to 0, niech oryginalna cyfra stanie. Jeśli następną cyfrą po lewej jest 1, zmień pierwotną cyfrę. (Zakłada się, że cyfra po lewej stronie ma zero po lewej stronie i dlatego pozostaje niezmieniona.) Na przykład zastosowanie tej konwersji do liczby 110111 daje liczbę Gray 101100. Możemy wtedy przekonwertować wszystkie standardowe dane binarne liczby do utworzenia sekwencji Cray, która rozpoczyna się od 0, 1, 11, 10, 110, 111, 101, 100, 1100, 1101, 1111, ... Odbity kod binarny został pierwotnie zaprojektowany, aby ułatwić zapobieganie błędnym wynikom z elektromechaniki przełączniki. W tej aplikacji niewielka zmiana pozycji wpływa tylko na jeden bit. Obecnie kody Gray są używane w celu ułatwienia korekcji błędów w komunikacji cyfrowej, na przykład w transmisji sygnału TV, oraz w celu zmniejszenia podatności systemów transmisyjnych na zakłócenia. Francuski inżynier Emile Baudot użył kodów Gray w telegrafii w 1878 r. Kod ten został nazwany na cześć fizyka badawczego Bell Labs, Franka Craya, który szeroko wykorzystał te kody w swoich patentach inżynieryjnych. Cray wynalazł metodę konwersji sygnałów analogowych na binarny kod Gray za pomocą lamp próżniowych. Obecnie kody Gray mają również ważne zastosowanie w teorii grafów i teorii liczb.

Claude Elwood Shannon (1916-2001)

Nastolatki oglądają telewizję, surfują w Internecie, kręcą DVD i rozmawiają bez końca przez telefon, zwykle nie zdając sobie sprawy z tego, że podwaliny dla epoki informacyjnej położył amerykański matematyk Claude Shannon, który w 1948 r. Opublikował "Matematyczną teorię komunikacji". Teoria informacji to dyscyplina matematyki stosowanej obejmująca kwantyfikację danych, która pomaga naukowcom zrozumieć zdolność różnych systemów do przechowywania, przesyłania i przetwarzania informacji. Teoria informacji dotyczy również kompresji danych oraz metod zmniejszania poziomu hałasu i błędów, aby umożliwić niezawodne przechowywanie i przesyłanie jak największej liczby danych w kanale. Miara informacji, zwana entropią informacji, jest zwykle wyrażana przez średnią liczbę bitów potrzebną do przechowywania lub komunikacji. Znaczna część matematyki za teorią informacji została opracowana przez Ludwiga Boltzmanna i J. Willarda Gibbsa w dziedzinie termodynamiki. Alan Turing zastosował podobne pomysły podczas przełamywania szyfrów niemieckiej Enigmy podczas II wojny światowej. Teoria informacji wpływa na różnorodne dziedziny, od matematyki i informatyki po neurobiologię, językoznawstwo i czarne dziury. Teoria informacji ma praktyczne zastosowania, takie jak łamanie kodów i odzyskiwanie po błędach spowodowanych zadrapaniami na płytach DVD z filmami. Zgodnie z wydanym w 1953 roku wydaniem Fortune: "Być może nie jest przesadą stwierdzenie, że postęp człowieka w pokoju i bezpieczeństwo w wojnie zależą bardziej od owocnych zastosowań teorii infonnacji niż od fizycznych demonstracji, zarówno w bombach, jak i elektrowniach, niż w przypadku Einsteina znane równanie ". Claude Shannon zmarł w 2001 roku, w wieku 84 lat, po długiej walce z chorobą Alzheimera. W pewnym momencie swojego życia był doskonałym żonglerem, monocyklem i szachistą. Niestety, ze względu na swoją chorobę, nie był w stanie obserwować Ery Informacji, którą pomógł stworzyć.

Curt Herzstark (1902-1988)

Curta jest uważany przez wielu historyków nauki za pierwszy komercyjny przenośny kalkulator mechaniczny. Ręczna Curta, opracowana przez austriackiego Żyda Curt Herzstarka podczas pobytu w obozie koncentracyjnym w Buchenwaldzie, mogła wykonywać mnożenie, dodawanie, odejmowanie i dzielenie. Cylindryczny korpus Curty był zwykle trzymany w lewej ręce i zawierał osiem suwaków do wprowadzania liczb. W 1943 r. Herzstark został oskarżony o "pomaganie Żydom" i "nieprzyzwoite kontakty z aryjskimi kobietami". W końcu trafił do Buchenwaldu, gdzie wieści o jego technicznej wiedzy i pomysłach na maszyny liczące skłoniły nazistów do zażądania sporządzenia rysunków swoich kalkulatorów; mieli nadzieję, że pod koniec wojny podarują Hitlerowi urządzenie. Po wojnie w 1946 r. Książę Liechtensteinu zaprosił Herzstarka do założenia fabryki urządzeń, która stała się powszechnie dostępna w 1948 r. Przez pewien czas Curtas był jednym z najlepszych dostępnych kalkulatorów przenośnych i był często używane do czasu pojawienia się kalkulatorów elektronicznych w 1970 roku. Curta typu I miał licznik wyników 11-cyfrowy. Większa Curta typu II, wprowadzona w 1954 roku, miała licznik wyników 15 cyfrowy. W ciągu około 20 lat zbudowano około 80 000 urządzeń Curta I i 60 000 urządzeń Curta II. Astronom i autor Cliff Stoll pisze: "Johannes Kepler, Isaac Newton i Lord Kelvin narzekali na czas, który musieli marnować na prostą arytmetykę ... Och, na kieszonkowy kalkulator, który mógłby dodawać, odejmować, mnożenie i dzielić! Jeden z cyfrowymi odczytami i pamięcią. Prosty interfejs przyjazny dla palców, ale żaden nie był dostępny do 1947 r. Następnie, przez ćwierć wieku, najlepsze kalkulatory kieszonkowe pochodziły z Liechtensteinu. W tej malutkiej krainie alpejskich krajobrazów i schronisk podatkowych Curt Herzstark zbudował najbardziej genialną maszynę obliczeniową, jaka kiedykolwiek uhonorowała rękę inżyniera: kalkulator Curta ".

Akos Csaszar (1924-2017)

Wielościany to bryły zbudowane z kolekcji wielokątów połączonych na ich krawędziach. Ile jest wielościanów z każdą parą wierzchołków połączonych krawędzią? Oprócz czworościanu (trójkątna piramida) wielościan Csaszar jest jedynym znanym wielościanem, który uważa się za pozbawiony przekątnych, gdzie przekątna jest zdefiniowana jako linia łącząca dowolne dwa wierzchołki niepołączone krawędzią. Zauważ, że czworościan ma cztery wierzchołki, sześć krawędzi, cztery ściany i nie ma przekątnych. Krawędź łączy każdą parę narciarzy. Wielościan Csaszara został po raz pierwszy opisany w 1949 r. Przez węgierskiego matematyka Akosa Csaszara. Stosując teorię kombinatoryki (badanie sposobów wybierania i układania przedmiotów ze zbiorów), matematycy wiedzą teraz, że oprócz czworościanu, każdy inny wielościan bez przekątnej musi mieć co najmniej jeden otwór (tunel). Wielościan Csaszara ma jeden otwór (trudny do wizualizacji bez modelu do trzymania) i jest topologicznie równoważny torusowi (pączkowi). Ten wielościan ma 7 wierzchołków, 14 ścian i 21 krawędzi i jest podwójny z wielościanu Szilassi. W przypadku podwójnych wielościanów wierzchołki jednego wielościanu odpowiadają powierzchniom drugiego wielościanu. David Darling pisze: "Nie wiadomo, czy istnieją inne wielościany, w których każda para wierzchołków jest połączona krawędzią. Następna możliwa postać miałaby 12 ścian, 66 krawędzi, 44 wierzchołków i 6 otworów, ale wydaje się, że nieprawdopodobna konfiguracja - podobnie jak w jeszcze większym stopniu, bardziej skomplikowany członek tej ciekawej rodziny ". Martin Gardner zauważa o szerokim zastosowaniu wielościanu Csaszar: "Badając strukturę szkieletu dziwacznej bryły ... [znajdujemy] kilka niezwykłych izomorfizmów, które obejmują siedmiokolorową mapę na torusie, najmniejszą" skończoną projekcję samolot: rozwiązanie starej łamigłówki o trojaczkach siedmiu dziewcząt, rozwiązanie problemu spaceru przez mosty, z ośmioma drużynami i budowa nowego rodzaju magicznego kwadratu zwanego kwadratem pokoju,

John Nash (1928-2015)

Amerykański matematyk John Nash otrzymał w 1994 r. Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii. Jego nagradzane dzieło ukazało się prawie pół wieku wcześniej w jego smukłej 27-stronicowej rozprawie doktorskiej napisanej w wieku 21 lat. W teorii gier równowaga Nasha dotyczy gier z udziałem dwóch lub więcej graczy, w których żaden gracz nie ma nic do zyskania, zmieniając własną strategię. Jeśli każdy gracz wybrał strategię i żaden gracz nie może odnieść korzyści ze zmiany strategii, podczas gdy strategie innych graczy pozostają niezmienione, obecny zestaw wyborów strategii jest częścią równowagi Nasha. W 1950 r. Nash po raz pierwszy pokazał w swojej rozprawie "Gry bez współpracy", że równowaga Nasha dla strategii mieszanych musi istnieć dla wszystkich skończonych gier z dowolną liczbą graczy. Teoria gier poczyniła duże postępy w latach dziewięćdziesiątych XX wieku dzięki dziełu Johna von Neumanna, którego kulminacją była jego książka Teoria gier i zachowań ekonomicznych, współautorka Oskara Morgensterna. Koncentrowali się na grach o sumie zerowej, w których interesy dwóch graczy były ściśle przeciwne. Dzisiaj teoria gier ma znaczenie w badaniu konfliktów ludzkich i negocjacji oraz w zachowaniu populacji zwierząt. Jeśli chodzi o Nasha, w 1958 r. Fortune wyróżnił go za osiągnięcia w teorii gier, geometrii algebraicznej i teorii nieliniowej, nazywając go najbardziej błyskotliwym z młodszego pokolenia matematyków. Wydawał się być przeznaczony do dalszych osiągnięć, ale w 1959 roku został zinstytucjonalizowany i zdiagnozowany jako schizofrenik. Uważał, że obcy uczynili go cesarzem Antarktydy i że zwykła rzecz, taka jak zdanie w gazecie, może mieć ukryte i bardzo ważne znaczenie. Nash powiedział kiedyś: "Nie odważyłbym się powiedzieć, że istnieje bezpośredni związek między matematyką a szaleństwem, ale nie ma wątpliwości, że wielcy matematycy cierpią z powodu maniakalnych cech, majaczenia i objawów schizofrenii".

Lewis Fry Richardson (1881-1953), Benoit Mandelbrot (1924-2010)

Gdyby ktoś próbował zmierzyć linię brzegową lub granicę dwóch narodów, wartość pomiaru zależałaby od długości użytego pręta pomiarowego. Gdy drążek pomiarowy zmniejszył się, pomiar stałby się wrażliwy na coraz mniejsze drgania na granicy i, w zasadzie, długość linii brzegowej zbliżałaby się do nieskończoności, gdy długość drążka zbliżała się do zera. Brytyjski matematyk Lewis Richardson rozważał to zjawisko podczas próby skorelowania wybuchu wojen z naturą granicy dzielącej dwa lub więcej narodów. (Stwierdził, że liczba wojen doradców była proporcjonalna do liczby krajów, w których graniczyła). Francusko-amerykański matematyk Benoit Mandelbrot oparł się na pracy Richardsona i zasugerował, że związek między długością miarki (ε) a pozorną długością całkowitą (L) linii brzegowej można wyrazić parametrem D - wymiar fraktalny. D można docenić, badając związek między liczbą N prętów pomiarowych a długością ε. Dla gładkiej krzywej, takiej jak okrąg, mamy N(ε) = c/ε, gdzie c jest stałą. Jednak dla krzywej fraktalnej, takiej jak linia brzegowa, relacja ta staje się N(ε) = c/ε^D. Jeśli pomnożymy obie strony wzoru przez ε, relację można wyrazić jako długość miarki: L(ε) = ε/ ε^D. D odpowiada nieco tradycyjnemu pojęciu wymiaru (linia jest jednowymiarowa, płaszczyzna dwuwymiarowa), z tym wyjątkiem, że D może być ułamkiem. Ponieważ linia brzegowa jest zwinięta w różnych skalach wielkości, nieznacznie "wypełnia" powierzchnię, a jej wymiar leży między linią a płaszczyzną. Struktura fraktalna sugeruje, że wielokrotne powiększanie wykresu ujawnia coraz bardziej szczegółowy poziom szczegółowości. Mandelbrot podaje D = 1,26 dla wybrzeża Wielkiej Brytanii. Oczywiście w przypadku rzeczywistych obiektów nigdy nie możemy używać nieskończenie małych drążków pomiarowych, ale ten "paradoks" pokazuje, w jaki sposób cechy naturalne wykazują wymiary ułamkowe w różnych skalach pomiarowych.

Melvin Dresher (1911-1992), Merrill Meeks Flood (1908-1991), Albert W. Tucker (1905-1995)

Wyobraź sobie anioła zajmującego się dwoma więźniami. Podejrzewa się, że zarówno Kain, jak i Abel nielegalnie wślizgnęli się z powrotem do Ogrodu Eden. Nie ma wystarczających dowodów przeciwko jednemu z nich. Jeśli żaden człowiek nie przyza, anioł musi obniżyć "zarzuty" do wkroczenia, a dwaj bracia są skazani na wędrówkę po pustyni tylko przez sześć miesięcy. Jeśli tylko jeden brat to wyznaje, to staje się wolny, a drugi jest skazany na czołganie się i jedzenie pyłu przez trzydzieści lat. Z drugiej strony, jeśli zarówno Kain, jak i Abel przyznają się, każde z nich otrzyma wyrok pięciu lat krótszej wędrówki. Kain i Abel są rozdzieleni, aby nie mogli się komunikować. Co powinni zrobić Kain i Abel? Z początku rozwiązanie ich dylematu wydaje się proste: ani Kain, ani Abel nie powinni się spowiadać, aby obaj skończyli z minimalną karą wędrówki po pustyni przez sześć miesięcy. Jest jednak całkiem możliwe, że jeśli Cain będzie chciał współpracować, to Abel będzie miał ochotę podwoić karę Caina w ostatniej chwili, osiągając w ten sposób najlepszy możliwy wynik, którym jest wolność. Jedno ważne podejście teoretyczne pokazuje, że scenariusz prowadzi każdego podejrzanego do przyznania się do winy, chociaż przyniesie surowszą karę niż strategia współpracy i brak spowiedzi. Dylemat Kaina i Abla dotyczy konfliktu między dobrem jednostki a dobrem grupy. Dylemat więźnia został po raz pierwszy formalnie zidentyfikowany w 1950 r. Przez Melvina Dreshera i Merrill M. Flood. Albert W. Tucker badał dylemat, aby zrozumieć i zilustrować trudność analizy dylematów gier niezerowych, w których zwycięstwo jednej osoby niekoniecznie jest porażką drugiej osoby. Od tego czasu praca Tuckera dała ogromną literaturą pokrewną w dyscyplinach od filozofii i biologii po socjologię, nauki polityczne i ekonomię.

Melvin Dresher (1911-1992), Merrill Meeks Flood (1908-1991), Albert W. Tucker (1905-1995)

Wyobraź sobie anioła zajmującego się dwoma więźniami. Podejrzewa się, że zarówno Kain, jak i Abel nielegalnie wślizgnęli się z powrotem do Ogrodu Eden. Nie ma wystarczających dowodów przeciwko jednemu z nich. Jeśli żaden człowiek nie przyza, anioł musi obniżyć "zarzuty" do wkroczenia, a dwaj bracia są skazani na wędrówkę po pustyni tylko przez sześć miesięcy. Jeśli tylko jeden brat to wyznaje, to staje się wolny, a drugi jest skazany na czołganie się i jedzenie pyłu przez trzydzieści lat. Z drugiej strony, jeśli zarówno Kain, jak i Abel przyznają się, każde z nich otrzyma wyrok pięciu lat krótszej wędrówki. Kain i Abel są rozdzieleni, aby nie mogli się komunikować. Co powinni zrobić Kain i Abel? Z początku rozwiązanie ich dylematu wydaje się proste: ani Kain, ani Abel nie powinni się spowiadać, aby obaj skończyli z minimalną karą wędrówki po pustyni przez sześć miesięcy. Jest jednak całkiem możliwe, że jeśli Cain będzie chciał współpracować, to Abel będzie miał ochotę podwoić karę Caina w ostatniej chwili, osiągając w ten sposób najlepszy możliwy wynik, którym jest wolność. Jedno ważne podejście teoretyczne pokazuje, że scenariusz prowadzi każdego podejrzanego do przyznania się do winy, chociaż przyniesie surowszą karę niż strategia współpracy i brak spowiedzi. Dylemat Kaina i Abla dotyczy konfliktu między dobrem jednostki a dobrem grupy. Dylemat więźnia został po raz pierwszy formalnie zidentyfikowany w 1950 r. Przez Melvina Dreshera i Merrill M. Flood. Albert W. Tucker badał dylemat, aby zrozumieć i zilustrować trudność analizy dylematów gier niezerowych, w których zwycięstwo jednej osoby niekoniecznie jest porażką drugiej osoby. Od tego czasu praca Tuckera dała ogromną literaturą pokrewną w dyscyplinach od filozofii i biologii po socjologię, nauki polityczne i ekonomię.

Martin Gardner (1914-2010)

"Może więc anioł Pański zbadał nieskończone morze chaosu dotknął go delikatnie palcem. W tym niewielkim i tymczasowym zawirowaniu równania, nasz kosmos ukształtował się. " -Martin Gardner, Porządek i niespodzianka Autorzy programu Winning Ways for Your Mathematical Plays napisali, że Martin Gardner "przyniósł więcej matematyki milionom niż ktokolwiek inny". Allyn Jackson, zastępca redaktora American Mathematics Society, napisał, że Gardner "otworzył oczy opinii publicznej na piękno i fascynację matematyką i zainspirował wielu do kontynuowania pracy nad tym tematem". Rzeczywiście, kilka słynnych koncepcji matematycznych po raz pierwszy zwróciło uwagę świata poprzez prace Gardnera, zanim pojawiły się w innych publikacjach. Martin Gardner jest pisarzem amerykańskim, który pisał kolumnę "Gry matematyczne" w Scientific American w latach 1957-1981. Opublikował także ponad 65 książek. Gardner studiował na University of Chicago, gdzie uzyskał tytuł licencjata filozofii. Większość jego ogromnego wykształcenia pochodziła z jego szerokiej lektury i korespondencji. Według wielu współczesnych matematyków Gardner jest najważniejszą osobą, która wzbudziła zainteresowanie matematyką w Stanach Zjednoczonych przez znaczną część XX wieku. Douglas Holstadter nazwał kiedyś Gardnera "jednym z wielkich intelektów wyprodukowanych w tym kraju w tym stuleciu". "Gry matematyczne" Gardnera obejmowały takie tematy jak fleksagony, Gra życia Conwaya, poliominoes, kostka soma, Hex, tangramy, Penrose TIles, kryptografia z kluczem publicznym, twórczość M.C. Escher i fraktale. Pierwszy artykuł Gardnera w Scientific American na temat heksafleksagonów (elastycznych obiektów składanych), ukazał się w grudniu 1956 r. Wydawca Gerry Piel zadzwonił do swojego biura Gardnera i zapytał, czy istnieje wystarczająca ilość podobnych materiałów, aby regularnie publikować w magazynie. Gardner odpowiedział, że tak myśli. Kolejny numer - styczeń 1957 r. - prowadził pierwszą z kolumn.

Norman L. Gilbreath (ur. 1936)

W 1958 r. Amerykański matematyk i magik Norman L. Gilbreath po zapisaniu serwetki przedstawił tajemniczą hipotezę dotyczącą liczb pierwszych. Gilbreath napisał kilka pierwszych liczb pierwszych, tj. Liczby większe niż 1, takie jak 5 lub 13, które można podzielić tylko przez siebie lub 1. Następnie kontynuował odejmowanie kolejnych wyrazów i rejestrował niepodpisane różnice

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4 …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 2, …
1, 2, 2, …
1, 0, …
1, …
Przypuszczenie Gilbreatha jest takie, że po pierwszym rzędzie pierwsza liczba w każdym rzędzie to zawsze jeden. Nikt nigdy nie znalazł wyjątku, pomimo wyszukiwania do kilkuset miliardów wierszy. Matematyk Richard Guy napisał kiedyś: "Nie wydaje się prawdopodobne, że w najbliższej przyszłości zobaczymy dowód przypuszczenia Gilbreath ,że to prawdopodobnie prawda. "Matematycy nie są pewni, czy hipoteza jest szczególnie istotna dla liczb pierwszych, czy też dotyczy jakiejkolwiek sekwencji rozpoczynającej się od 2, po której następują liczby nieparzyste, które rosną w wystarczającym tempie z wystarczającymi odstępami między nimi. Chociaż przypuszczenie Gilbreatha jest historycznie nie jest tak znaczące jak wiele innych, jest to cudowny przykład rodzaju prostych problemów, które mogą zaoferować nawet matematycy-amatorzy, ale których rozwiązanie może wymagać stuleci matematyki. Dowód może kiedyś być w naszym zasięgu, gdy ludzkość lepiej rozumie rozkład luk między liczbami pierwszymi.

Stephen Smale (ur. 1930), Bernard Morin (1931-2018)

Przez wiele lat topolodzy wiedzieli, że teoretycznie możliwe jest wykopanie kuli w jej wnętrzu (lub "wywrócenie"), ale nie mieli najmniejszego pojęcia, jak to zrobić. Kiedy naukowcy otrzymali grafikę komputerową, matematyk i ekspert grafiki Nelson Max wyprodukował film animowany, który w końcu ilustruje transformację sfery. Film Maxa z 1977 r. "Turning a Sphere Inside Out" powstał na podstawie wywrotki sfery Bemarda Morina z 1967 roku, niewidomego francuskiego topologa. Animacja skupia się na tym, w jaki sposób można wykonać wywinięcie, przepuszczając przez siebie powierzchnię, nie robiąc żadnych dziur ani fałd. Matematycy uważali, że problem jest nierozwiązywalny aż do około 1958 r., kiedy amerykański matematyk Stephen Smale udowodnił inaczej. Jednak nikt nie mógł wyraźnie wizualizować ruchu bez grafiki. Kiedy dyskutujemy o wyrzuceniu kuli, nie mówimy o wywróceniu piłki plażowej na lewą stronę, wyciągnięciu kulki spuszczonej przez jej otwór, a następnie włożeniu jej ponownie. Zamiast tego mamy na myśli kulę bez otworu. Matematycy próbują wizualizować kulę wykonaną z cienkiej membrany, która może się rozciągać a nawet przejść przez siebie bez rozrywania lub rozwijania ostrego załamania lub zagięcia. Zadanie unikania tak ostrych zagnieceń sprawia, że matematyczna ewolucja sfery jest tak trudna Pod koniec lat dziewięćdziesiątych XX wieku matematycy poszli o krok dalej i odkryli geometrycznie optymalną ścieżkę - jedną, która minimalizuje energię potrzebną do wykrzywienia kuli podczas jej transformacji. To optymalne odwrócenie kuli lub optiverse jest teraz gwiazdą kolorowego filmu komputerowego zatytułowanego The Optiverse. Nie możemy jednak użyć zasad zawartych w filmie, aby wywrócić prawdziwego zamkniętego balonu na lewą stronę. Ponieważ prawdziwe piłki i balony nie są wykonane z materiału, który może przez nie przejść, nie można obrócić takich przedmiotów na lewą stronę bez przebicia przez nie dziury.

Lewis Carroll (1832-1898), Hugo Steinhaus (1887-1972), Matthew Hudelson (ur. 1962)

Platoniczne pytanie o bilard intrygowało matematyków od ponad wieku, a kompletne rozwiązanie musiało czekać prawie pięćdziesiąt lat po rozwiązaniu sprawy sześcianu. Wyobraź sobie piłkę bilardową podskakującą w kostce. Tarcie i grawitacja są pomijane w tej teoretycznej dyskusji. Czy możemy znaleźć ścieżkę, dzięki której piłka wraca do punktu początkowego po trafieniu w każdą ścianę jeden raz? Problem postawił początkowo angielski autor i matematyk Lewis Carroll (1832-1898). W 1958 r. Polski matematyk Hugo Steinhaus Widely opublikował rozwiązanie, które pokazało, że takie ścieżki istnieją dla kostek, a w 1962 r. Matematycy John Conway i Roger Hayward odkryli podobne ścieżki wewnątrz regularnego czworościanu. Każda noga ścieżki między ścianami ma taką samą długość dla sześcianu i czworościanu. Teoretycznie piłka odbija się wzdłuż ścieżki na zawsze. Jednak nikt nie był pewien, czy tego rodzaju ścieżki istnieją dla innych brył platońskich. Wreszcie w 1997 r. Amerykański matematyk Matthew Hudelson przedstawił intrygujące ścieżki dla bilardowej piłki odbijającej się wewnątrz brył platońskich - ośmiościennego ośmiokąta, dwunastościanu o dwunastu idach i dwudziestościanu. Te ścieżki Hudelsona stykają się z każdą stroną wewnętrznych ścian i ostatecznie powracają do punktów początkowych i początkowych kierunków podróży. Hudelson użył komputera, aby pomóc mu w swoich badaniach. Jego wyzwanie było szczególnie trudne. biorąc pod uwagę dużą liczbę możliwości, które należało zbadać dla dwunastościanu i dwudziestościanu. Aby uzyskać lepszą intuicję dotyczącą problemu tych kształtów, Hudelson napisał program, który wygenerował ponad 100 000 losowych początkowych trajektorii i zbadał te, które uderzyły we wszystkie 12 stron dwunastościanu i które uderzyły we wszystkie 20 stron dwudziestościanu.

Bernhard Hennann Neumann (1909-2002), Jürgen Moser (1928-1999), Richard Evan Schwartz (ur. 1966)

Koncepcja zewnętrznego bilarda (OB) została opracowana w latach 50. XX wieku przez brytyjskiego matematyka urodzonego w Niemczech, Bernharda Neumanna. Niemiecko-amerykański matematyk Jürgen Moser spopularyzował OB w latach 70. jako uproszczony model ruchów planet. Aby eksperymentować z OB, narysuj wielokąt. Umieść punkt x₀ poza wielokątem. Pomyśl o tym jako punkcie początkowym piłki bilardowej. Piłka porusza się po linii prostej, dotykając tylko wierzchołka wielokąta i kontynuuje podróż do nowego punktu XI, tak że wierzchołek znajduje się w punkcie środkowym linii między x₀ i x₁. Kontynuuj procedurę z następnym wierzchołkiem zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Neumann zapytał, czy taka trajektoria lub orbita wokół wypukłego wielokąta może być nieograniczona, aby piłka ostatecznie uciekła w nieskończoność. W przypadku regularnych wielokątów wszystkie trajektorie są ograniczone i nie wiją się coraz dalej od wielokąta. Jeśli wierzchołki wielokątów mają racjonalne współrzędne (na przykład można je wyrazić w dziesiątkach ułamków), trajektorie są ograniczone i okresowe, ostatecznie wracając do swoich punktów początkowych. W 2007 roku Richard Schwartz z Uniwersytetu Brown ostatecznie wykazał, że OB Neumanna może prowadzić do nieograniczonej trajektorii na płaszczyźnie euklidesowej, demonstrując to dla czworoboku zwanego latawcem Penrose′, który jest używany w układaniu płytek Penrose′. Schwartz odkrył także trzy duże ośmiokątne regiony, w których trajektorie okresowo odbijają się od jednego regionu do drugiego. Inne regiony doprowadziły do zachowania, które zbiegło się w zbiór punktów, od których trajektorie są nieograniczone. Podobnie jak w przypadku innych współczesnych dowodów matematycznych, początkowy dowód Schwartza opierał się na komputerze. Co do Neumanna, doktorat otrzymał w 1932 r. Na Uniwersytecie Berlińskim. Kiedy Hitler doszedł do władzy w 1933 r., Neumann zrozumiał niebezpieczeństwo bycia Żydem i uciekł do Amsterdamu, a następnie do Cambridge.

William A. Newcomb (1927-1999), Robert Nozick (1938-2002)

Zanim staniesz się dwoma zamkniętymi arkami lub polami oznaczonymi "Ark 1" i "Ark 2." Anioł wyjaśnia, że Ark 1 zawiera złoty puchar o wartości 1000 USD. Ark 2 zawiera albo pająka wartego absolutnie nic, albo obraz Mona Lisa warty miliony dolarów. Masz dwie możliwości: weź to, co jest w obu arkach, lub weź tylko to, co jest w Arce 2. Teraz anioł sprawia ci wybór. "Dokonaliśmy prognozy dotyczącej tego, co zdecydujesz. Prawie na pewno mamy rację. Kiedy spodziewamy się, że wybierzesz obie arki, w Arce 2 umieszczamy tylko bezwartościowego pająka. Kiedy oczekujemy, że weźmiesz tylko Arkę 2, umieściliśmy w niej Mona Lisę. Arka 1 zawsze zawiera 1000 $, bez względu na to, co naszym zdaniem zrobisz. "Na początku myślisz, że powinieneś wybrać tylko Arkę 2. Anioły są doskonałymi predyktorami, a zatem dostaniesz Mona Lisę. Jeśli weźmiesz obie arki, anioł najprawdopodobniej przewidział twój wybór i umieścił pająka w Ark 2. Dostaniesz tylko puchar za 1000 $ i pająka. Ale teraz anioł myli cię. "Czterdzieści dni temu dokonaliśmy prognozy, którą wybrałbyś . Umieściliśmy już Mona Lisę lub pająka w Ark 2 i nie powiemy ci. "Teraz myślisz, że powinieneś wziąć obie Arki i uzyskać wszystko, co możliwe. Wydaje się głupotą, jeśli wybierasz tylko Arkę 2, ponieważ jeśli to zrobisz, nie dostaniesz więcej niż Mona Usa. Po co rezygnować z 1000 $? To jest istota paradoksu Newcomba, sformułowanego w 1960 roku przez fizyka Williama A. Newcomba. Zagadkę tę wyjaśnił dalej filozof Robert Nozick w 1969 roku. Eksperci wciąż wyrywają sobie włosy z powodu tego dylematu i nie zgadzają się co do twojej najlepszej strategii.

Wacław Franciszek Sierpiński (1882-1969)

Matematyk Don Zagier pisze, że "Nie ma wyraźnego powodu, dla którego jedna liczba jest liczbą pierwszą, a inna nie. Przeciwnie, patrząc na te liczby ma się wrażenie obecności jednego z niewytłumaczalnych sekretów stworzenia" . W 1960 r. Polski matematyk Wacław Sierpiński udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele nieparzystych liczb całkowitych k, zwanych liczbami Sierpińskiego, tak, że k x 2ⁿ + 1 nigdy nie jest liczbą pierwszą dla każdej dodatniej liczby całkowitej n. Ivars Peterson pisze "To dziwny wynik. Wydaje się, że nie ma oczywistego powodu, dla którego te wyrażenia nigdy nie dają liczby pierwszej". Biorąc to pod uwagę, problem Sierpińskiego można określić jako : "Jaka jest najmniejsza liczba Sierpińskiego . "W 1962 r. amerykański matematyk John Selfridge odkrył najmniejszą znaną liczbę Sierpińskiego k = 78 557. W szczególności udowodnił, że gdy k = 78 557, wszystkie liczby postaci k x 2ⁿ + 1 są podzielne przez jedną z poniższych liczb : 3, 5,7, 13, 19, 37 lub 73. W 1967 r. Sierpiński i Selfridge przypuszczali, że 78.557 jest najmniejszą liczbą Sierpińskiego, a zatem jest odpowiedzią na problem Sierpińskiego. Dzisiaj matematycy zastanawiają się, czy kiedykolwiek odkryje się mniejszą liczbę Sierpińskiego. Gdybyśmy byli w stanie zeskanować wszystkie wartości k < 78,557 i znaleźć liczbę pierwszą dla każdej z nich, to bylibyśmy tego pewni. Według stanu na luty 2008 r. Istniało zaledwie sześć liczb kandydatów, które nie zostały wyeliminowane jako możliwe mniejsze liczby Sierpińskiego. "Seventeen Or Bust", rozproszony projekt komputerowy, testuje te pozostałe liczby. Na przykład, 3 października , "Seventeen Or Bust" udowodnił, że 33 661 x 2^{7 031,232} + 1, liczba 2161 617 cyfr, jest liczbą pierwszą, eliminując w ten sposób k = 33 661 jako możliwą liczbę Sierpińskiego. Jeśli matematycy będą w stanie znaleźć liczbę pierwszą odpowiedniej formy dla wszystkich pozostałych k, problem Sierpińskiego zostanie rozwiązany i prawie 50-letnie zadanie dobiegnie końca.

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963), Jules Henri Poincare (1854-1912), Edward Norton Lorenz (1917-2008)

Dla starożytnych ludzi chaos reprezentował nieznane, duchowy świat - groźne, koszmarne wizje, które odzwierciedlały strach człowieka przed niekontrolowanym i potrzebą nadania kształtu i struktury jego obawom. Dzisiaj teoria chaosu jest ekscytującą, rozwijającą się dziedziną, która obejmuje badania szeroko zakrojonych zjawisk wykazujących wrażliwość w zależności od warunków początkowych. Chociaż chaotyczne zachowanie często wydaje się "losowe" i nieprzewidywalne. często przestrzega ścisłych reguł matematycznych wywodzących się z równań, które można formułować i badać. Jednym z ważnych narzędzi badawczych pomagających w badaniu chaosu jest grafika komputerowa. Od chaotycznych zabawek z losowo mrugającymi światłami po kosmyki i wiry dymu papierosowego, chaotyczne zachowanie jest na ogół nieregularne i nieporządne; inne przykłady obejmują wzorce pogodowe, pewną aktywność neurologiczną i kardiologiczną, giełdę papierów wartościowych i niektóre sieci elektryczne komputerów. Teoria chaosu była również często stosowana w szerokim zakresie sztuk wizualnych. W nauce istnieją pewne znane i jasne przykłady chaotycznych układów fizycznych, takie jak konwekcja termiczna w płynach, trzepotanie paneli w samolotach naddźwiękowych, oscylacyjne reakcje chemiczne, dynamika płynów, wzrost populacji , cząstki uderzające w okresowo wibrujący wał, różne ruchy wahadła i wirnika, nieliniowe obwody elektryczne i wiązki wyboczone. Wczesne korzenie teorii chaosu zaczęły się około 1900 r., Kiedy matematycy tacy gdy Jacques Hadamard i Henri Poincare badali skomplikowane trajektorie poruszających się ciał. Na początku lat 60. XX wieku Edward Lorenz, meteorolog z Massachusetts Institute of Technology, zastosował układ równań do modelowania konwekcji w atmosferze. Pomimo prostoty swoich formuł szybko znalazł jedną z cech charakterystycznych chaosu - to znaczy, bardzo drobne zmiany początkowych warunków doprowadziły do nieprzewidywalnych i różnych rezultatów. W swoim artykule z 1963 r. Lorenz wyjaśnił, że motyl trzepoczący skrzydłami w jednej części świata może później wpłynąć na pogodę tysiące mil stąd. Dziś tę wrażliwość nazywamy efektem motyla.

Stanisław Marcin Ulam (1909-1984)

W 1963 r., Podczas gryzmolenia papierze podczas nudnego spotkania, urodzony w Polsce amerykański matematyk Stanisław Ulam odkrył niezwykłą spiralę, która ujawnia wzorce w liczbach pierwszych. (Liczba pierwsza jest liczbą większą niż 1, taką jak 5 lub 13, która jest podzielna tylko przez siebie lub 1.) Począwszy od 1 w środku spirali przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, Ulam napisał kolejne liczby naturalne. Następnie okrążył wszystkie liczby pierwsze. Gdy spirala rosła, zauważył, że liczby pierwsze mają tendencję do tworzenia ukośnych wzorów. Jak później wyjaśniono grafikę komputerową, chociaż niektóre ukośne struktury mogą po prostu powstać z przekątnych naprzemiennie zawierających liczby nieparzyste i parzyste, intrygujące jest to, że liczby pierwsze mają tendencję do leżenia na niektórych ukośnych liniach bardziej niż inne. Być może ważniejsze niż odkrycie wzorów, prosta demonstracja Ulama podkreśla wykorzystanie komputera jako rodzaju mikroskopu, który pozwala matematykom wizualizować struktury, które mogą prowadzić do nowych twierdzeń. Tego rodzaju badania na początku lat 60-tych stopniowo doprowadziły do eksplozji matematyki eksperymentalnej pod koniec XX wieku. Martin Gardner pisze: "Spiralne siatki Ulama dodały odrobiny fantazji do spekulacji na temat zagadkowej mieszanki porządku i przypadkowości w rozkładzie liczb pierwszych ... Dowodów Ulama w mrocznej strefie matematyki nie należy lekceważyć. ten, który wysunął sugestię, która skłoniła go i Edwarda Tellera do zastanowienia się nad "pomysłem", który umożliwił pierwszą bombę termojądrową ". Oprócz wkładu matematycznego i pracy nad projektem Manhattan dotyczącym opracowania pierwszej broni nuklearnej podczas II wojny światowej, Ulam jest również znany ze swojej pracy nad układami napędowymi statków kosmicznych. Uciekł z bratem z Polski w przeddzień drugiej wojny światowej, ale reszta jego rodziny zginęła w Holokauście.

Georg Cantor (1845-1918), Paul Joseph Cohen (1934-2007)

We wpisie o liczbach nieskończonych Cantora omawialiśmy najmniejszą liczbę pozaskończoną zwaną zerową, ale zapisaną jako Χ₀, która "liczy" liczbę całkowitą. Chociaż istnieje nieskończona liczba liczb całkowitych, liczb wymiernych (liczb, które można wyrazić jako ułamki) i liczb niewymiernych (takich jak pierwiastek kwadratowy z 2), nieskończona liczba liczb niewymiernych jest w pewnym sensie większa niż nieskończona liczba liczb wymiernych i liczby całkowite. Podobnie, istnieje więcej liczb rzeczywistych (w tym liczb wymiernych i niewymiernych) niż liczb całkowitych. Aby zaznaczyć tę różnicę, matematycy odnoszą się do nieskończoności wymiernych lub liczb całkowitych jako Χ₀, a nieskończoną liczbę irracjonalnych lub liczb rzeczywistych do C. Istnieje prosty związek między C i Χ₀, mianowicie C = 2^Χ₀. Tutaj C jest liczebnością zbioru liczb rzeczywistych, które czasem nazywane są kontinuum. Matematycy również rozważają większe nieskończoności, symbolizowane przez Χ₁ , Χ₂ itp. Tutaj, zestaw Χ₁ oznacza najmniejszy zbiór nieskończoności większy niż Χ₀ i tak dalej. Hipoteza Cantora mówi, że C = Χ₁ = 2^Χ₀; jednak pytanie, czy C naprawdę równa się Χ₁, jest uważane za nierozstrzygalne w naszej obecnej teorii zbiorów. Innymi słowy, wielcy matematycy, tacy jak Kurt Gödel, udowodnili, że hipoteza była spójnym założeniem ze standardowymi aksjomatami teorii mnogości. Jednak w 1963 roku amerykański matematyk Paul Cohen udowodnił, że konsekwentne jest także zakładanie, że kontinuum jest fałszywe! Cohen urodził się w Long Branch, New Jersey, w żydowskiej rodzinie, a ukończył w 1950 roku Stuyvesant High School w Nowym Jorku. Co ciekawe, liczba liczb wymiernych jest taka sama jak liczba całkowita, a liczba liczb niewymiernych jest taka sama jak liczba liczb rzeczywistych. (Matematycy zwykle używają terminu kardynalność przy omawianiu "liczby" liczb nieskończonych).

Piet Hein (1905-1996)

Około 1965 roku duński naukowiec, projektant i wynalazca Piet Hein promował superegg, znany również jako super-elipsoida, jako obiekt piękna i fascynacji, ponieważ stał na obu końcach z niesamowitą stabilnością. Kształt 3D jest wytwarzany przy użyciu superelipsy, zdefiniowanej wzorem |x/a|^2.5 + |y/b|^2.5 = 1 I dla a/b = 4/3, i obracanie tegon kształtu wokół osi x. Mówiąc bardziej ogólnie, możemy podać równanie superelipsoidy jako (|x|^2/a + |y|^2/a)^a/b + |z|^{2/ b} = 1, gdzie a i b są większe od zera. Supereggi Heina, wykonane z różnych materiałów, były popularne jako zabawki i nowości w latach sześćdziesiątych. Dziś projekt jest wszechobecny. Supereggs są używane jako świeczniki, w projektach mebli oraz jako chłodzone płynem chłodziarki do napojów ze stali nierdzewnej, które są wrzucane do szklanek do napojów. Superegg Heina został "położony" po raz pierwszy w 1965 roku, kiedy Skjjlde w Skjern w Danii wyprodukował i sprzedał wersję podręczną. W 1971 roku, największy na świecie superegg, wykonany z metalu i ważący prawie tonę, został umieszczony przed Kelvin Hall w Glasgow. Francuski matematyk Gabriel Lame (1795-1870) pracował przed Heinem z bardziej ogólną formą superelipli, ale Hein jako pierwszy stworzył superegg i słynie z popularyzacji własnych wersji w architekturze, meblach, a nawet urbanistyce. Superellipse wykorzystano również jako kształt ronda w Sztokholmie w Szwecji. Elipsa była nieodpowiednia, ponieważ jej spiczaste końce zakłócałyby płynny ruch uliczny w mniej więcej prostokątnej przestrzeni. W 1959 r. Hein został poproszony o opinię. Martin Gardner pisze o sztokholmskiej drodze: "Krzywe Heina okazały się dziwnie satysfakcjonujące, ani zaokrąglone, ani za ortogonalne, szczęśliwe połączenie eliptycznego i prostokątnego piękna. Sztokholm natychmiast zaakceptował superelipsę wykładników 2.5 [z a/b = 6/5 ] jako podstawowy motyw nowego centrum… "

Lotfi Zadeh (1921-2017)

Klasyczna logika dwuwartościowa dotyczy warunków, które są np. prawdziwe lub fałszywe. Logika rozmyta (FL) pozwala na ciągły zakres wartości prawdy i została wprowadzona przez matematyka i informatyka Lotfi Zadeha, który dorastał w Iranie i przeniósł się do Stanów Zjednoczonych w 1944 roku. FL ma szeroki zakres praktycznych zastosowań i wywodzi się z rozmytej teoria zbiorów, która koncentruje się na elementach zbioru o stopniach członkostwo. Zadeh opublikował swój przełomowy artykuł matematyczny na temat zbiorów rozmytych w 1965 r., A w 1973 r. Przedstawił szczegóły dotyczące FL. Jako przykład rozważmy system monitorowania temperatury urządzenia. Dla pojęć zimnych, ciepłych i gorących może istnieć funkcja członkowska. Pojedynczy pomiar może składać się z trzech wartości, takich jak "nie zimno", "lekko ciepło" i "lekko gorąco", które mogą być użyte do sterowania urządzeniem. Zadeh wierzył, że jeśli kontrolery sprzężenia zwrotnego mogłyby zostać zaprogramowane tak, aby korzystały z nieprecyzyjnych, zaszumionych danych wejściowych, mogłyby być bardziej skuteczne i łatwiejsze do wdrożenia. W pewnym sensie takie podejście jest podobne do tego, jak często ludzie podejmują decyzje. Metodologia FL miała trudny początek, a Zadeh nie mógł łatwo znaleźć czasopisma technicznego, aby opublikować artykuł z 1965, być może z powodu niechęci do wpuszczenia "niejasności" w dziedzinę inżynierii. Autor Kazuo Tanaka pisze: "Punkt zwrotny dla logiki rozmytej nastąpił w 1974 r. kiedy Ebraham Mamdani z University of London zastosował logikę rozmytą do… sterowania prostym silnikiem parowym…". W 1980 r. Zastosowano FL aby kontrolować piec cementowy. Różne japońskie firmy korzystały z FL do kontrolowania procesów oczyszczania wody i systemów szkoleniowych. Od tego czasu FL jest również wykorzystywany do sterowania hutami, kamerami z automatycznym ustawianiem ostrości, pralkami, procesami fermentacyjnymi, sterownikami silników aut, układami przeciwblokującymi, układami wywołującymi kolorowe powłoki, obróbką szkła, programami komputerowymi stosowanymi w obrocie finansowym oraz systemami stosowanymi do rozpoznawanie subtelnych różnic w językach pisanych i mówionych.

Frank Armbruster (1929-2013)

Jako dziecko nigdy nie potrafiłem rozwiązać kolorowej gry w kostki o nazwie Natychmiastowe Szaleństwo. Nie powinienem się czuć tak źle, ponieważ istnieje 41 472 różnych sposobów ułożenia czterech kostek w rzędzie, z których tylko 2 to rozwiązania. Podejście prób i błędów nigdy nie zadziałałoby. Układanka wygląda na pozornie prostą, składającą się z czterech kostek z jednym z czterech kolorów na każdej z sześciu ścian. Celem jest ułożenie czterech kostek w rzędzie, tak aby po jednej stronie rzędu kostek pojawiał się tylko jeden kolor. Ponieważ każda kostka ma 24 orientacje, istnieje maksymalnie 41 x 244 = 7 962 624 pozycji. Liczbę można jednak zmniejszyć do 41 472 , częściowo dlatego, że kostki można układać w stosy w dowolnej kolejności bez różnicy dla rozwiązania. Matematycy przedstawili kolorowe boki kostek w postaci wykresu, aby zrozumieć skuteczne sposoby rozwiązywania zagadki. Stosując to podejście, każdy sześcian jest reprezentowany przez wykres kolorów, które pojawiają się na przeciwległych parach ścian. Według dziennikarza matematyki Ivarsa Petersona: "Osoby zaznajomione z teorią grafów mogą zazwyczaj wypracować rozwiązanie w ciągu kilku minut. Rzeczywiście łamigłówka stanowi dobrą lekcję logicznego myślenia". Błyskawiczne szaleństwo szalonego szaleństwa po tym, jak konsultant edukacyjny Frank Armbruster wydał licencję na swoją wersję układanki Parker Brothers i sprzedał się w ponad 12 milionach egzemplarzy pod koniec lat sześćdziesiątych. Podobna kolorowa łamigłówka była również popularna około 1900 roku, kiedy nazywała się Creat Tantalizer. Armbruster napisał : "Kiedy dostałem próbkę Creat Tantalizer w 1965 roku, dostrzegłem potencjał wykorzystania jej do uczenia kombinacji i permutacji. Moja pierwsza próbka została wykonana z drewna z pomalowanymi bokami. Sprzedałem moją kolejną plastikową wersję, zapakowane w rozwiązanym stanie, a klient zasugerował jego nazwę, którą opatrzyłem znakiem towarowym. Następnie Parker Brothers złożył mi ofertę, której nie mogłem odmówić ".

Robert Phelan Langlands (ur. 1936)

W 1967 r. Robert Langlands, 30-letni profesor matematyki z Princeton, napisał list do słynnego teoretyka liczb Andre Weila (1906--1998), pytając Weila o niektóre nowe pomysły matematyczne. "Jeśli zechcesz przeczytać [mój list] jako czystą spekulację, byłbym wdzięczny. Jeśli nie - jestem pewien, że masz kosz na śmieci." Według pisarki naukowej Dany Mackenzie, Weil nigdy nie odpisał, ale list Langlanda okazał się "kamieniem z Rosetty" łączącym dwie różne gałęzie matematyki. W szczególności Langlands stwierdził, że istnieje równoważność między reprezentacjami Galois (opisującymi związki między rozwiązaniami równań badanymi w teorii liczb) a formami automorficznymi (wysoce symetryczne funkcje, takie jak funkcja cosinus). Program Langlands jest tak żyznym terytorium, że doprowadził do otrzymania dwóch medali Fields dla innych matematyków. Przypuszczenia Langlandsa wynikają częściowo z próby znalezienia ogólnych wersji wzorów, które rządzą sposobem dzielenia liczb całkowitych na sumy iloczynów innych liczb całkowitych. Według The Fennat Diary program Langlandsa można uznać za wielką zunifikowaną teorię matematyki, która sugeruje, że "matematyka algebry, która obejmuje równania i matematyka analityczna, która obejmuje badanie gładkich krzywych i ciągłych zmian. związane z." Przypuszczenia w programie Langlandsa "są jak katedra, tak pięknie do siebie pasują". Jednak przypuszczenia są bardzo trudne do udowodnienia, a niektórzy matematycy uważają, że ukończenie programu Langlandsa może potrwać wieki. Matematyk Stephen Gelbart pisze: "Program [Langlands] jest syntezą kilku ważnych tematów w klasycznej teorii liczb. Jest także - i co ważniejsze - programem dla przyszłych badań. Program ten powstał około 1967 r. W ramach serii domysłów , a następnie wpłynął na badania teorii liczb. W podobny sposób przypuszczenia A Weila kształtowały przebieg geometrii algebraicznej od 1948 r. "

John Horton Conway (1937-2020) i Michael S. Paterson (ur. 1942)

Gra Sprouts została wynaleziona w 1967 roku przez matematyków Johna H. Conwaya i Michaela S. Patersona, gdy obaj byli na University of Cambridge. Wciągająca gra ma fascynujące właściwości matematyczne. Conway napisał do Martina Gardnera: "Dzień po wykiełkowaniu Sprouts wydawało się, że wszyscy w to grają. ... wpatrując się absurdalnie w fantastyczne pozycje Kiełków. Niektórzy już atakowali Kiełki na torach, butelkach Kleina i ... myśląc o wyżych wymiarach" Aby zagrać w Kiełki przeciwko przeciwnikowi, zacznij od umieszczenia kilku kropek na stronie. Aby wykonać ruch, narysuj krzywą między dwoma punktami lub pętlę od miejsca do siebie. Twoja krzywa nie może przekroczyć innej krzywej lub siebie. Następnie umieść nową kropkę na tej krzywej. Gracze wykonują tury, a gracz, który wykonał ostatni ruch, wygrywa. Każda kropka może mieć maksymalnie trzy krzywe. Po zwykłej inspekcji można się domyślić, że gra może kiełkować wiecznie. Wiemy jednak teraz, że kiedy Kiełki zaczynają się od n punktów, gra będzie trwać co najmniej 2n ruchów i co najwyżej 3n -] ruchów. Pierwszy gracz zawsze może wygrać w grach rozpoczynających się od trzech, czterech lub pięciu kropek. W 2007 r. Naukowcy wykorzystali programy komputerowe, aby ustalić, który gracz jest zwycięzcą we wszystkich grach z maksymalnie 32 miejscami. Status gry na 33 miejsca jest wciąż nieznany. Eksperci od kiełków, Julien Lemoine i Simon Viennot, piszą: "Mimo niewielkiej liczby ruchów ... trudno jest ustalić, czy pierwszy lub drugi gracz wygra, pod warunkiem, że grają doskonale. Najlepiej opublikowany i kompletny dowód sprawdzony ręcznie i pokazuje, kto jest zwycięzcą w grze na 7 miejsc ". Dziennikarz Lvars Peterson pisze: "Gry mogą wyrastać z różnego rodzaju nieoczekiwanych wzorców wzrostu, co sprawia, że sformułowanie zwycięskiej strategii jest trudną propozycją. Nikt jeszcze nie opracował kompletnej strategii dla idealnej gry".

Rene Thorn (1923-2002)

Teoria katastrof jest matematyczną teorią dramatycznych lub gwałtownych zmian. Matematycy Tim Poston i Ian Stewart podają przykłady: "ryk trzęsienia ziemi [lub] krytycznej gęstości zaludnienia, poniżej której pewne stworzenia wyrastają jako koniki polne, powyżej których jako" łabędzie "szarańcza… Komórka nagle zmienia swój rytm reprodukcyjny i podwójnie i podwójnie, rakowo. Mężczyzna ma wizję na drodze do Tarsu. " Teorię katastrofy opracował francuski matematyk Rene Thorn w latach 60. Teorię tę propagował w latach 70. urodzony w Japonii brytyjski matematyk Christopher Zeeman, który nadal stosował teorię do nauk behawioralnych i biologicznych. Thom otrzymał Medal Fieldsa w 1958 r. za pracę w topologii, badanie kształtów geometrycznych i ich wzajemne relacje. Teoria katastrof zwykle dotyczy układów dynamicznych, które opisują zależność w czasie pewnej ilości (jak bicie serca) i związek tych układów z topologią. W szczególności teoria koncentruje się na pewnych rodzajach "krytycznych momentów", w których pierwsza pochodna funkcji i jedna lub więcej pochodnych wyższych są zerowe. David Darling pisze: "Wielu matematyków podjęło studia nad teorią katastrofy i przez pewien czas było to w ogromnym stopniu, ale nigdy nie osiągnęło sukcesu, który jego teoria chaosu młodszego kuzyna nie spełniła obietnicy przydatnych prognoz". Celem Thoma było lepsze zrozumienie, w jaki sposób ciągłe działania (takie jak płynne i stabilne zachowanie w więzieniach lub między krajami) mogą nagle ustąpić miejsca niejednolitej zmianie ( zamieszki w więzieniu lub wojna). Pokazał, jak takie zjawiska można opisać za pomocą ich własnych pejzaży w postaci abstrakcyjnych matematycznych powierzchni o nazwach takich jak motyl czy jastrząb. Ostatni obraz Salvadora Dali, Ogon jaskółki (1983), był oparty na katastroficzna powierzchnia. Dali namalował także Topologiczne uprowadzenie Europy: Homage to Rene Thorn (1983), które przedstawiają pęknięty krajobraz wraz z równaniem, które go wyjaśniło.

George Tokarsky (ur. 1946)

Wyobraź sobie, że jesteśmy w ciemnym pokoju z płaskimi ścianami pokrytymi lustrami. Pokój ma kilka zakrętów i bocznych przejść. Gdybyś zapalił zapałkę gdzieś w pokoju, czy byłbyś w stanie ją zobaczyć bez względu na to, gdzie stoisz w pokoju i bez względu na kształt pokoju lub w którym bocznym przejściu stoisz? Równie dobrze możemy postawić pytanie w kategoriach piłki bilardowej podskakującej wokół stołu bilardowego. Czy musi być strzał w pulę między dowolnymi dwoma punktami na wielobocznym stole bilardowym? Gdybyśmy byli uwięzieni w pokoju w kształcie litery L, byłbyś w stanie zobaczyć płomień bez względu na to, gdzie staliśmy, ponieważ promień światła mógłby odbić się od różnych ścian, aby dostać się do twojego oka. Ale czy możemy sobie wyobrazić tajemniczy wielokątny pokój, który jest tak skomplikowany, że istnieje punkt, do którego nigdy nie dociera światło? (W przypadku naszego problemu uważamy osobę i dopasowanie za przejrzyste). Zagadkę tę po raz pierwszy wydrukował matematyk Victor Klee w 1969, chociaż datuje się na lata 50., kiedy matematyk Ernst Straus zastanawiał się nad takimi problemami. To szokujące, że nikt nie znał odpowiedzi do 1995 r., kiedy George Tokarsky z University of Alberta odkrył takie pomieszczenie, które nie jest całkowicie oświetlone. Jego opublikowany plan pomieszczenia miał 26 stron. Następnie Tokarsky znalazł przykład z 24 stronami, a ten dziwny pokój jest obecnie najmniej znanym wielokątnym pokojem, który nie jest podświetlany. Nie wiemy, czy możliwy jest nieoświetlalny wielokątny pokój z mniejszą liczbą boków. Inne podobne problemy istnieją W 1958 r. Fizyk matematyczny Roger Penrose i jego kolega wykazali, że w niektórych pokojach o zakrzywionych bokach mogą istnieć nieoświetlone obszary. Niedawno odkryto niektóre zakrzywione pokoje, dla których nieskończenie wiele zapałęk jest potrzebnych do oświetlania każdego punktu. Dla dowolnej skończonej liczby zapałek istnieją zakrzywione pokoje, które nie mogą być oświetlone przez te zapałki

Donald Ervin Knuth (ur. 1938), Mordechai Meirowitz (ur. 1930)

Mastermind to łamigłówka gra planszowa, wynaleziona w 1970 roku przez Mordechaia Meirowitza, izraelskiego naczelnika poczty i eksperta telekomunikacyjnego. Firmy zajmujące się produkcją gier mainstreamowych, wszystkie odrzuciły Meirowitz; dlatego opublikował wraz z małą angielską firmą zajmującą się produkcją gier ,Invicta Plastics. Ta gra sprzedała się w ponad 50 milionach egzemplarzy, co czyni ją najbardziej udana nową grą lat 70-tych. Aby zagrać w tę grę, twórca kodu wybiera sekwencję czterech kolorów, reprezentowanych przez kolorowe kołki w 6 różnych kolorach. Przeciwnik musi odgadnąć sekretna sekwencję kodu, z jak najmniejszą liczbą domysłów. Każde zgadywanie jest przedstawiane w sekwencji 4 kolorowych kołków. Twórca kodu ujawnia, ile z tych kołków ma zarówno właściwy kolor, jak i prawidłową pozycję, a ile więcej jest prawidłowego koloru, ale w niewłaściwej pozycji. Na przykład tajny kod może być zielono-biało-niebieski. Domysł może być pomarańczowo-żółto-niebiesko-biały. Tutaj twórca kodu wskazuje, że gracz ma kołek prawidłowego koloru we właściwej pozycji i kołek prawidłowego koloru w niewłaściwej pozycji, ale nie wspomina o nazwach konkretnych kolorów. Gra jest kontynuowana z większą liczbą domysłów. Twórca kodu wybiera spośród możliwych 6⁴ (lub 1,206) możliwych kombinacji, zakładając, że istnieje 6 kolorów i 4 pozycje. Mastermind był znaczący, częściowo ze względu na długi strumień badań, które uruchomiła gra. W 1977 roku amerykański informatyk Donald Knuth opublikował strategię, która umożliwia graczowi odgadnięcie poprawnego kodu w ciągu 5 domysłów. Był to pierwszy znany algorytm do rozwiązania Mastermind, a następnie pojawiły się liczne artykuły. W 1993 r. Kenji Koyama i Tony W. Lai opublikowali strategię z maksymalnie 6 zgadnięciami wymaganymi w najgorszym przypadku, ale ze średnią liczbą zgadnięć jedynie 4,340. W 1996 r. Zhixiang Chen i współpracownicy uogólnili poprzednie wyniki w przypadku n kolorów i m pozycji. Gra była również kilkakrotnie badana przy użyciu algorytmów genetycznych, technik inspirowanych biologią ewolucyjną.

Paul Erdös (1913-1996)

Opinia publiczna często uważa matematyków za zamkniętych w prywatnych pokojach, rzadko rozmawiając z innymi, pracując przez wiele dni, aby wygenerować nowe twierdzenia i rozwiązać starożytne przypuszczenia. Dotyczy to niektórych, ale urodzony na Węgrzech Paul Erdös pokazał matematykom wartość współpracy i "matematyki społecznej". Zanim zmarł, opublikował około 1500 artykułów - więcej artykułów niż jakikolwiek matematyk w historii świata, współpracując z 511 różnymi współpracownikami. Jego praca obejmowała szeroki krajobraz matematyki, w tym teorię prawdopodobieństwa, kombinatorykę, teorię liczb, teorię grafów, klasyczną analizę, teorię aproksymacji i teorię zbiorów. W ostatnim roku życia, w wieku 83 lat, kontynuował wyrzucanie twierdzeń i wygłaszanie wykładów, przeciwstawiając się konwencjonalnej wiedzy, że matematyka jest sportem młodego człowieka. Przez całą swoją pracę zawsze dzielił się pomysłami, dbając bardziej o to, by problem został rozwiązany niż o to, kto go rozwiązał. Autor Paul Hoffman napisał: "Erdös myślał o więcej problemach niż jakikolwiek inny matematyk w historii i potrafił wyrecytować szczegóły około 1500 artykułów, które napisał. Wzmocniony kawą, Erdös zajmował się matematyką 19 godzin dziennie, a kiedy przyjaciele namawiali go, aby zwolnił , zawsze miał tę samą odpowiedź: "Będzie mnóstwo czasu na odpoczynek w grobie". "Po 1971 r. zażywał amfetaminę prawie co dzień na ucieczkę przed depresją oraz wspieranie matematycznych pomysłów i współpracy. Erdöos ciągle podróżował i żył z plastikowej torby skupiając się całkowicie na matematyce kosztem towarzystwa, seksu i jedzenia. Erdös zrobił wczesne piętno na matematyce w wieku 18 lat, kiedy odkrył elegancki dowód twierdzenia, że dla każdej liczby całkowitej n większej niż 1 zawsze istnieje liczba pierwsza między n i dwukrotnością liczby 2n. Na przykład liczba pierwsza 3 mieści się między 2 a 4. Erdös sformułował później elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych, który opisuje rozkład liczb pierwszych.

William Redington Hewlett (1913-2001) i zespół

W 1972 r. Firma Hewlett-Packard (HP) z siedzibą w Palo Alto w Kalifornii wprowadziła pierwszy na świecie kieszonkowy kalkulator naukowy, czyli ręczny kalkulator z funkcjami trygonometrycznymi i wykładniczymi. Duży zakres liczbowy kalkulatora HP-35, z jego notacją naukową, wynosił od 10^-100 do 10⁺¹⁰⁰. HP-35 został wprowadzony po cenie sprzedaży 395 USD. (HP nazwał urządzenie "35", ponieważ miało 35 kluczy). Współzałożyciel firmy Bill Hewlett zaczął opracowywać kompaktowy kalkulator pomimo badań rynkowych, które sugerowały, że prawie nie istniał rynek kalkulatorów kieszonkowych. Jakżesz się mylili W pierwszych miesiącach sprzedaży zamówienia przekraczały oczekiwania firmy w stosunku do całej wielkości rynku. W pierwszym roku sprzedano 100 000 HP-35, a ponad 300 000 sprzedano w 1975 roku. Kiedy wprowadzono HP-35, dostępne były reguły slajdów do wykonywania zaawansowanych obliczeń naukowych. Istniejące kalkulatory kieszonkowe w tym czasie przeprowadzały dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. HP-35 zmienił wszystko. Reguła slajdów - która zazwyczaj była dokładna tylko dla trzech znaczących postaci - "umarła" i rzadko była nauczana ponownie w wielu amerykańskich szkołach. Można się zastanawiać, co osiągnęliby dawni wielcy matematycy, gdyby mieli dostęp do HP-35 (wraz z niekończącym się zapasem baterii). Obecnie kalkulatory naukowe są niedrogie i znacznie zmieniły program nauczania matematyki nauczany w większości krajów. Nauczyciele nie uczą już papierowych i ołówkowych metod obliczania wartości funkcji transcendentalnych. W przyszłości nauczyciele prawdopodobnie poświęcą jeszcze więcej czasu na zastosowania matematyczne i koncepcje zamiast rutynowych obliczeń. Bob Lewis pisze: "Bill Hewlett i Dave Packard założyli Dolinę Krzemową w garażu Hewlett. Rzut monetą sprawił, że firma nazywa się Hewlett-Packard zamiast Packard Hewlett ... Hewlett nigdy nie wykazywał zainteresowania byciem celebrytą. Przez całe życie w głębi duszy pozostał inżynierem ".

Roger Penrose (ur. 1931)

Płytki Penrose′a odnoszą się do dwóch prostych kształtów geometrycznych, które po ułożeniu obok siebie mogą pokrywać płaszczyznę we wzorze bez przerw i zakładek i które nie powtarzają się okresowo. Natomiast proste sześciokątne wzory płytek znajdujące się na niektórych podłogach w łazience wykazują prosty powtarzalny wzór. Co ciekawe, nachylenia Penrose'a, nazwane na cześć angielskiego fizyka matematycznego Rogera Penrose'a, mają pięciokrotną symetrię obrotową, ten sam rodzaj symetrii wykazywany przez pięcioramienną gwiazdę. Jeśli obrócisz cały wzór płytki o 72 stopnie, będzie wyglądać tak samo jak oryginał. Autor Martin Gardner pisze: "Chociaż możliwe jest konstruowanie wzorów Penrose'a o wysokim stopniu symetrii ... większość wzorów, podobnie jak wszechświat, jest tajemniczą mieszanką porządku i nieoczekiwanych odchyleń od porządku. Gdy wzory się rozszerzają, wydaje się, że zawsze starajcie się powtarzać, ale nigdy nie do końca sobie z tym radzić ". Przed odkryciem Penrose'a większość naukowców uważała, że kryształy oparte na pięciokrotnej symetrii byłyby niemożliwe do zbudowania, ale odkryto kwazikryształy przypominające wzory płytek Penrose'a i mają one niezwykłe właściwości. Na przykład kwazikryształy metali są słabymi przewodnikami ciepła, a kwazikryształy można stosować jako śliskie nieprzywierające powłoki. Na początku lat 80. naukowcy zastanawiali się nad możliwością, że struktura atomowa niektórych kryształów może być oparta na sieci nieokresowej - to znaczy sieci, która nie ma okresowych powtórzeń. W 1982 roku Dan Shechtman odkrył nieperiodyczną strukturę w mikrofotografiach elektronowych stopu glinowo-manganowego o oczywistej pięciokrotnej symetrii przypominającej płytki Penrose'a. W tym czasie odkrycie to było tak zaskakujące, że niektórzy twierdzili, że było tak szokujące, jak znalezienie pięciobocznego płatka śniegu. Co ciekawe, w 1997 r. Penrose wniosła pozew o ochronę praw autorskich przeciwko firmie, która rzekomo wytłaczała płytki Penrose na pikowanym papierze toaletowym Kleenex w Anglii. W 2007 r. Naukowcy opublikowali dowody w nauce o kafelkach podobnych do Penrose'a w średniowiecznej sztuce islamskiej, pięć wieków przed odkryciem na Zachodzie.

Vaclav (Vasek) Chvatal (ur. 1946), Victor Klee (1925-2007)

Wyobraź sobie, że znajdujesz się w drogim pokoju galerii sztuki reprezentowanym przez wielokąt. Gdybyśmy umieścili strażników na niektórych narożnikach (wierzchołkach) pokoju, jaka jest minimalna liczba potrzebnych strażników, aby jednocześnie oglądać wnętrze całego wielokąta? Załóż, że strażnicy widzą jednocześnie we wszystkich kierunkach, ale nie widzą przez ściany. Ponadto strażnicy są umieszczani w rogach galerii, aby nie blokowali niczyjego widoku sztuki. Problem można początkowo zbadać, rysując wielokątne pokoje i osłaniając linię wzroku dla strażników rozmieszczonych na kilku wierzchołkach. Twierdzenie Galerii sztuki Chvatala, nazwane na cześć urodzonego w Czechosłowacji matematyka i informatyka Vaclava Chvatala, stwierdza, że w galerii sztuki z n-przybyszami musi być co najwyżej strażników ⌊n/3⌋, aby oglądać całą galerię, gdzie Symbole ⌊, ⌋ wskazują matematyczną funkcję podłogi, która zwraca największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą n/3. Zakładamy, że wielokąt jest "prosty", co oznacza, że ściany galerii sztuki nie przecinają się i że spotykają się tylko w punktach końcowych. W 1973 r. Matematyk Victor Klee zadał Chvatalowi pytanie dotyczące wymaganej liczby strażników, a wkrótce potem udowodnił to Chvatal. Co ciekawe, tylko ⌊n/4⌋ strażników jest potrzebnychi, aby oglądać wielokątną galerię sztuki, która ma narożniki ustawione pod odpowiednim kątem. Dlatego do tego rodzaju galerii z 10 narożnikami potrzeba tylko 2, a nie 3 strażników. Od tego czasu badacze rozważali problem galerii sztuki, używając strażników, którzy mogą poruszać się po liniach prostych, zamiast pozostać w ustalonych pozycjach. Problem rozważano również w trzech wymiarach i ścianach z otworami. Norman Do pisze: "Kiedy Victor Klee po raz pierwszy postawił problem galerii sztuki, prawdopodobnie nie miał pojęcia, że zmotywowałoby to tak wiele badań, które nadal trwają ponad trzydzieści lat później. Obszar ten [obecnie jest absolutnie pełen ciekawych problemów .. .. "

Emö Rubik (ur. 1944)

Kostka Rubika została wynaleziona przez węgierskiego wynalazcę Emö Rubika w 1974 r., Opatentowana w 1975 r. i wprowadzona na rynek węgierski w 1977 r. Do 1982 r. na Węgrzech sprzedano aż 10 milionów kostek, co stanowi więcej niż populacja kraju. Szacuje się, że na całym świecie sprzedano ponad 100 milionów. Sześcian to układ 3 x 3 x 3 mniejszych kostek, które są pokolorowane w taki sposób, że sześć ścian dużego sześcianu ma sześć różnych kolorów. 26 zewnętrznych subsześcianów jest wewnętrznie umocowanych na zawiasach, dzięki czemu te sześć ścian można obracać. Celem układanki jest przywrócenie kodowanej kostki do stanu, w którym każda strona ma jeden kolor. Istnieją 43 52 003 274 489 856 000 różnych układów małych kostek, a tylko jeden z tych układów jest pozycją początkowa, w której wszystkie kolory pasują do siebie z każdej z sześciu stron. Gdybyście mieli sześcian dla każdej z tych "legalnych" pozycji, moglibyście pokryć całą powierzchnię ziemi (łącznie z oceanami) około 250 razy. Kolumna złożona ze wszystkich pozycji sześcianu rozciągałaby się na około 250 lat świetlnych. Istnieje 1 0109 x 10³⁸ kombinacji kostki Rubika 3 x 3 x 3, jeśli możesz usunąć kolorowe naklejki i umieścić je na różnych figurach subsześcianów. Minimalna liczba zwojów wymagana do rozwiązania układanki dla dowolnej pozycji początkowej nadal nie jest znana. W 2008 roku Tomas RokickI udowodnił, że wszystkie pozycje kostki Rubika można rozwiązać w 22 lub mniejszej liczbie obrotów kostki. Jedną z naturalnych odmian, która nigdy nie pojawiła się na półkach sklepowych z zabawkami, jest czterowymiarowa wersja tesseraktu Rubika Cube-Rubika. Całkowita liczba pozycji tesseraktu Rubika wynosi 1,76 x 10¹²⁰. Gdyby sześcian lub tesserakt zmieniały pozycje co sekundę od początku wszechświata, nadal obracałyby się dzisiaj i nie wykazywałyby każdej możliwej konfiguracji.

Gregory John Chaitin (ur. 1947)

Mówi się, że program komputerowy "zatrzymuje się", gdy wykonał swoje zadanie - na przykład, gdy obliczył tysięczną liczbę pierwszą lub pierwsze sto cyfr liczby pi. Z drugiej strony, program będzie działał w przód, jeśli zadanie się nie kończy, na przykład obliczanie każdej liczby Fibonacciego. Co się stanie, jeśli podamy losową sekwencję bitów do maszyny Turinga dla jej programu? (Maszyna Turinga to abstrakcyjne urządzenie do manipulacji symbolami, które może symulować logikę komputera.) Po uruchomieniu tego programu. jakie jest prawdopodobieństwo, że maszyna się zatrzyma? Odpowiedź brzmi: liczba Ω (omega) Chaitina. Liczba zmienia się w zależności od maszyny, ale dla danej maszyny Ω jest dobrze zdefiniowaną liczbą niewymierną o wartości od zera do jednego. Dla większości komputerów Ω jest bliskie wartości 1, ponieważ całkowicie losowy program prawdopodobnie poinstruuje komputer, aby zrobił coś niemożliwego. Argentyńsko-amerykański matematyk Gregory Chaitin pokazał, że sekwencja cyfr Ω jest bez wzorów, że Ω jest definiowalne, ale całkowicie nieobliczalne, i że ma nieskończenie wiele cyfr. Cechy Ω mają ogromne implikacje matematyczne i nakładają fundamentalne ograniczenia na to, co możemy wiedzieć. Teoretyk kwantowy Charles Bennett pisze: "Najbardziej niezwykłą właściwością Ω…jest to, że gdyby znane były pierwsze tysiące cyfr Ω, wystarczyłyby, przynajmniej w zasadzie, do rozstrzygnięcia większości interesujących otwartych pytań w matematyce…" David Darling mówi, że właściwości Ω pokazują, że możliwe do rozwiązania problemy, łączą maleńki archipelag w ogromnym oceanie nierozstrzygalności ". Według Marcusa Chown'a Ω "ujawnia, że matematyka ... składa się głównie z otwartych dziur. Anarchia ... jest w centrum wszechświata. Wyjaśnia magazyn Time. Koncepcja rozszerza … twierdzenie o niekompletności Gödel, które mówi, że w każdym systemie matematycznym zawsze będą niemożliwe do udowodnienia twierdzenia, oraz problem zatrzymania Turinga, który mówi, że nie można przewidzieć… czy dane obliczenia komputerowe mogą być kiedykolwiek skończone.

John Horton Conway (1937-2020)

Nadrzeczywiste liczby są nadzbiorem rzeczywistych liczb, wymyślonych przez płodnego matematyka Johna Conwaya do analizy gier, chociaż nazwa została wymyślona przez Donalda Knutha w jego popularnej powieści Surreal Numbers z 1974 r., Być może jeden z niewielu razy, gdy dokonano ważnego odkrycia matematycznego opublikowane po raz pierwszy w fikcji. Surrealistyczne liczby mają wiele dziwnych właściwości. Jako tło, liczby rzeczywiste obejmują zarówno liczby wymierne, takie jak 1/2, jak i liczby niewymierne, takie jak pi, i mogą być wizualizowane jako punkty na nieskończenie długiej linii liczbowej. Liczby nadrzeczywiste obejmują liczby rzeczywiste i wiele więcej. Martin Gardner pisze w Mathematical Magic Show: "Nadrzeczywiste liczby są zadziwiającym wyczynem kuglarskim . Pusty kapelusz spoczywa na stole wykonanym z kilku aksjomatów standardowej teorii mnogości." Conway macha dwiema prostymi regułami w powietrzu, a potem sięga prawie do niczego i wyciąga nieskończenie bogaty zestaw liczb, które tworzą rzeczywiste i zamknięte pole. Każda liczba rzeczywista jest otoczona mnóstwem nowych liczb, które leżą bliżej niż jakakolwiek inna "prawdziwa" wartość. System jest naprawdę "surrealistyczny:" A liczba nadrzeczywista jest parą zbiorów {X_L, X_R}, gdzie wskaźniki wskazują względną pozycję (lewej i prawej) zbiorów w parze. Nadrzeczywiste liczby są fascynujące, ponieważ są zbudowane na niezwykle małych i prostych podstawach. W rzeczywistości, według Conwaya i Knutha, liczby nadrzeczywiste podlegają dwóm zasadom: 1) Każda liczba odpowiada dwóm zestawom wcześniej utworzonych liczb, tak że żaden członek lewego zestawu nie jest większy ani równy żadnemu członkowi prawego zestawu, i 2) jedna liczba jest mniejsza lub równa innej liczbie wtedy i tylko wtedy, gdy żaden członek lewego zbioru pierwszego numeru nie jest większy lub równy drugiej liczbie, a żaden członek prawego zestawu drugiego numeru nie jest mniejszy lub równy pierwszy numer. Surrealistyczne liczby obejmują nieskończoność i nieskończenie małe liczby mniejsze niż jakiekolwiek możliwe liczby rzeczywiste.

Kenneth A Perko, Jr. (1941-2002), Wolfgang Haken (ur. 1928)

Przez stulecia matematycy szukali sposobów rozróżniania węzłów. Jako tylko jeden przykład, dwie przedstawione tutaj konfiguracje reprezentują dwa węzły, które przez ponad 75 lat uważane były za dwa różne typy węzłów. W 1974 r. matematycy odkryli, że można po prostu zmienić punkt widzenia jednego węzła, aby wykazać, że oba węzły były takie same. Dziś nazywamy te węzły parami Perko po nowojorskim prawniku i niepełnoetatowym topologu Kennethie Perko, który wykazał, że w rzeczywistości byli tym samym węzłem, podczas gdy on manipulował pętlami liny na podłodze w salonie! Dwa węzły są uważane za takie same, jeśli możemy manipulować jednym z nich bez wycinania go, aby wyglądał dokładnie tak samo jak drugi w odniesieniu do lokalizacji przekroczeń i przekroczeń. Węzły są klasyfikowane, między innymi, przez rozmieszczenie i liczbę ich skrzyżowań oraz pewne cechy ich lustrzane obrazy. Mówiąc dokładniej, węzły są klasyfikowane przy użyciu różnych niezmienników, z których jedna ma symetrię, a ich liczba przecinająca jest inna, a właściwości obrazu lustrzanego odgrywają pośrednią rolę w klasyfikacji. Nie istnieje żaden ogólny, praktyczny algorytm określający, czy splątana krzywa jest węzłem lub czy dwa podane węzły są ze sobą powiązane. Oczywiście samo patrzenie na węzeł rzutowany na płaszczyznę - przy jednoczesnym utrzymywaniu widoczności przeciążenia pod ziemią - nie jest łatwym sposobem stwierdzenia, czy pętla jest węzłem czy węzłem. (Unknot jest równoważny zamkniętej pętli jak prosty okrąg, który nie ma skrzyżowań.) W 1961 r. Matematyk Wolfgang Haken opracował algorytm określający, czy rzut węzła na płaszczyźnie (przy zachowaniu niedopełnienia i przekroczenia) jest faktycznie unknot Jednak procedura jest tak skomplikowana, że nigdy nie została wdrożona. Artykuł opisujący algorytm w czasopiśmie Acta Mathematica ma 130 stron

Benoit B. Mandelbrot (1924-2010)

Obecnie generowane komputerowo wzory fraktalne są wszędzie. Od zawiłych wzorów na komputerowych plakatach artystycznych po ilustracje w najpoważniejszych czasopismach z dziedziny fizyki - zainteresowanie naukowców oraz, co zaskakujące, artystów i projektantów stale rośnie. Słowo fraktal zostało wymyślone w 1975 r. przez matematyka Benoit Mandelbrota, aby opisać misternie wyglądający zestaw krzywych. Wiele z nich nigdy nie było widzianych przed pojawieniem się komputerów z ich zdolnością do szybkiego wykonywania masowych obliczeń. Fraktale często wykazują samopodobieństwo, co sugeruje, że różne dokładne lub niedokładne kopie obiektu można znaleźć w oryginalnym obiekcie w mniejszej skali. Szczegóły są kontynuowane dla wielu powiększeń - jak niekończące się zagnieżdżanie rosyjskich lalek w lalkach. Niektóre z tych kształtów istnieją tylko w abstrakcyjnej przestrzeni geometrycznej, ale inne mogą być wykorzystane jako modele złożonych obiektów naturalnych, takich jak linie brzegowe i rozgałęzienia naczyń krwionośnych. Olśniewające obrazy generowane komputerowo mogą być upajające, motywując uczniów do matematyki bardziej niż jakiekolwiek inne odkrycie matematyczne w ostatnim stuleciu. Fizycy są zainteresowani fraktalami, ponieważ czasami potrafią opisać chaotyczne zachowanie zjawisk w świecie rzeczywistym, takich jak ruch planet, przepływ płynu, zachowanie relacji międzybranżowych i wibracje skrzydeł samolotów. (Zachowanie chaotyczne często powoduje powstawanie wzorców fraktalnych). Tradycyjnie, gdy fizycy lub matematycy widzieli skomplikowane wyniki, często szukali skomplikowanych przyczyn. Natomiast wiele fraktalnych kształtów ujawnia fantastycznie skomplikowane zachowanie najprostszych formuł. Wcześni badacze obiektów fraktalnych to Karl Weierstrass, który w 1872 r. Rozważał funkcje, które były wszędzie ciągłe, ale nigdzie nie można ich odróżnić, oraz Helge von Koch, która w 1904 r. omawiał kształty geometryczne, takie jak Płatek śniegu Kocha. W XII w. i na początku XX wieku kilku matematyków badało fraktale w złożonej płaszczyźnie; nie byli jednak w stanie w pełni docenić ani wizualizować tych obiektów bez pomocy komputera.

Mitchell Jay Feigenbaum (1944-2019)

Proste formuły mogą wywoływać zadziwiająco różnorodne i chaotyczne zachowania, charakteryzując zjawiska od wzrostu i spadku populacji zwierząt po zachowanie niektórych obwodów elektronicznych. Specjalną formułą o szczególnym znaczeniu jest mapa logistyczna, która modeluje wzrost populacji i została spopularyzowana przez biologa Roberta Maya w 1976 r. i oparta na wcześniejszych pracach belgijskiego matematyka Pierre Francoisa Verhulsta (1804-1849), który badał modele zmian populacji. Wzór można zapisać jako x_n+1 = τx_n (1 - x_n). Tutaj x reprezentuje populację w czasie n. Zmienna x jest zdefiniowana w odniesieniu do maksymalnej wielkości populacji ekosystemu, a zatem ma wartości od 0 do 1. W zależności od wartości τ, która kontroluje tempo wzrostu i głodu, populacja może podlegać wielu zachowaniom. Na przykład, gdy τ wzrasta, populacja może zbiegać się w jedną wartość lub rozwidlać się, aby oscylować między dwiema wartościami, a następnie oscyluje między czterema wartościami, następnie ośmioma wartościami, i ostatecznie staje się chaotyczny, tak że niewielkie zmiany w początkowej populacji dają bardzo różne, nieprzewidywalne wyniki. Stosunek odległości między dwoma kolejnymi przedziałami rozwidlenia zbliża się do stałej Feigenbaum, 4,6692016091 ..., liczby odkrytej przez amerykańskiego fizyka matematycznego Mitchella Feigenbauma w 1975 roku. Co ciekawe, chociaż Feigenbaum początkowo rozważał tę stałą dla mapy podobnej do mapy logistycznej, on pokazał również, że ma zastosowanie do wszystkich jednowymiarowych map tego rodzaju. Oznacza to, że wiele układów chaotycznych rozwidla się w tym samym tempie, a zatem jego stała może być wykorzystana do przewidywania, kiedy chaos zostanie ujawniony w układach. Ten rodzaj bifurkacji został odkryty w wielu układach fizycznych, zanim weszły one w chaotyczny reżim. Feigenbaum szybko zdał sobie sprawę, że jego "uniwersalna stała" jest ważna, zauważając, że "zadzwoniłem do moich rodziców tego wieczoru i powiedziałem im, że odkryłem coś naprawdę niezwykłego, co po zrozumieniu uczyni ze mnie sławnego człowieka".

Ronald Lorin Rivest (ur. 1947), Adi Shamir (ur. 1952), Leonard Max Adleman (ur. 1945), Bailey Whitfield Diffie (ur. 1944), Martin Edward Hellman (ur. 1945), Ralph C. Merkle (ur. 1952)

W całej historii kryptolodzy próbowali wynaleźć sposób wysyłania tajnych wiadomości bez użycia kłopotliwych książek z kodami, które zawierałyby klucze szyfrowania i deszyfrowania, które z łatwością mogłyby wpaść w ręce wroga. Na przykład Niemcy w latach 1914-1918 straciły cztery książki kodów, które zostały odzyskane przez brytyjskie służby wywiadowcze. Brytyjska jednostka kodująca znaną jako Room Forty, odszyfrował niemiecką komunikację, dając siłom sprzymierzonym kluczową przewagę strategiczną podczas I wojny światowej. Aby rozwiązać kluczowy problem zarządzania, w 1976 roku Whitfield Diffie, Martin Hellman i Ralph Merkle z Stanford University w Kalifornii pracowali nad kryptografią klucza publicznego, matematyczną metodą dystrybucji zakodowanych wiadomości za pomocą pary kluczy kryptograficznych: klucza publicznego i klucza prywatnego. Klucz prywatny jest utrzymywany w tajemnicy, a co zaskakujące, klucz publiczny może być szeroko rozpowszechniany bez utraty bezpieczeństwa. Klucze są powiązane matematycznie, ale klucza prywatnego nie można uzyskać z klucza publicznego dowolnymi praktycznymi środkami. Wiadomość zaszyfrowaną kluczem publicznym można odszyfrować tylko odpowiednim kluczem prywatnym. Aby lepiej zrozumieć szyfrowanie kluczem publicznym, wyobraź sobie miejsce na pocztę w drzwiach domu. Każdy na ulicy może włożyć coś do skrzynki pocztowej, a klucz publiczny jest podobny do adresu domu. Jednak tylko osoba posiadająca klucz do drzwi domu może pobrać pocztę i ją przeczytać. W 1977 r. Naukowcy z MIT Ronald Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman zasugerowali, że do ochrony wiadomości można użyć dużych liczb pierwszych. Mnożenie dwóch dużych liczb pierwszych jest łatwe dla komputera, ale odwrotny proces znajdowania dwóch oryginalnych liczb pierwszych, biorąc pod uwagę ich iloczyn, może być bardzo trudny. Należy zauważyć, że informatycy opracowali wcześniej szyfrowanie klucza publicznego dla brytyjskiego wywiadu; praca ta była jednak utrzymywana w tajemnicy ze względów bezpieczeństwa narodowego.

Lajos Szilassi (ur. 1942)

Wielościany to trójwymiarowe bryły o płaskich powierzchniach i prostych krawędziach. Typowe przykłady to sześcian i regularny czworościan, który jest piramidą złożoną z czterech ścian w kształcie trójkątów równobocznych. Jeśli wielościan jest regularny, każdy ścianka ma ten sam rozmiar i kształt. Wielościan Szilassi′go został odkryty w 1977 r. przez węgierskiego matematyka Lajosa Szilassiego. Ten wielościan jest heptahedronem (siedmiobocznym wielokątem) z siedmioma ścianami 6-stronnymi, 14 wierzchołkami, 21 krawędziami i dziurą. Gdybyśmy wygładzili powierzchnię wielościanu Szilassi, aby krawędzie były mniej widoczne, moglibyśmy zobaczyć, że z topologicznego punktu widzenia wielościan Szilassi jest równoważny pączkowi (lub torusowi). Wielościan ma oś symetrii 180 stopni. Przystosowane są trzy pary ofensywne, to znaczy mają ten sam kształt i rozmiar. Druga niesparowana twarz to symetryczny sześciokąt. Co ciekawe, czworościan i wielościan Szilassi są jedynymi dwoma znanymi wielościanami, w których każda powierzchnia ma krawędź ze sobą. Gardner pisze, że "dopóki program komputerowy Szilassi nie znalazł struktury, nie było wiadomo, że może istnieć". Wielościan Szilassi zapewnia również wgląd w problem kolorowania map. Tradycyjna mapa może być pokolorowana co najmniej czterema kolorami, aby żadne dwa sąsiednie regiony nie były tego samego koloru. Dla mapy na powierzchni torusa liczba wynosi siedem. Oznacza to, że każda ściana wielościanu Szilassi musi mieć inny kolor, aby zapewnić, że żadne dwie sąsiednie ściany nie będą miały tego samego koloru. Dla porównania czworościan pokazuje, że potrzebne są cztery kolory dla mapy na powierzchni, która jest topologicznie równoważna kuli.

Kensuke S. Ikeda (ur. 1949)

Głębokim zbiornikiem uderzających obrazów jest układ dynamiczny. Systemy dynamiczne to modele zawierające reguły opisujące sposób, w jaki pewna ilość ulega zmianie w czasie. Na przykład ruch planet wokół Słońca można modelować jako układ dynamiczny, w którym planety poruszają się zgodnie z prawami Newtona. Pokazana tutaj rycina przedstawia zachowanie wyrażeń matematycznych zwanych równaniami różniczkowymi. Jednym ze sposobów zrozumienia zachowania równań różniczkowych jest wyobrażenie sobie maszyny, która pobiera wartości zmiennych w początkowym czasie, a następnie generuje nowe wartości w późniejszym czasie. Tak jak można śledzić ścieżkę strumienia po pozostawionej przez niego ścieżce dymu, grafika komputerowa zapewnia sposób podążania ścieżkami cząstek, których ruch jest określany za pomocą prostych równań różniczkowych. Praktyczną stroną układów dynamicznych jest to, że czasami można je wykorzystać do opisania zachowań w świecie rzeczywistym, takich jak przepływy płynów, wibracje mostów, ruch orbitalny satelitów, kontrola ramion robotów i reakcja obwodów elektrycznych. Często powstałe wzory graficzne przypominają dym, zawirowania, płomienie świec i wietrzne mgły. Pokazany tu atraktor Ikeda jest przykładem dziwnego atraktora, który ma nieregularne, nieprzewidywalne zachowanie. Atraktor jest zestawem, do którego ewoluuje układ dynamiczny. lub osiedli się w. po pewnym czasie. Dzięki atraktorom "oswajającym" początkowo punkty dozowania pozostają razem, gdy zbliżają się do atraktora. Przy dziwnych atraktorach początkowo sąsiednie punkty ostatecznie podążają bardzo rozbieżnymi trajektoriami. Podobnie jak w przypadku liści w burzliwym strumieniu, nie można przewidzieć, gdzie kończą liście, biorąc pod uwagę ich początkowe pozycje. W 1979 r. Japoński fizyk teoretyczny Kensuke Ikeda opublikował "Wielocieniowy stan stacjonarny i jego niestabilność przepuszczanego światła przez układ wnęki pierścieniowej", który opisuje odmianę tego atraktora. W literaturze matematycznej istnieje wiele innych znanych atraktorów i powiązanych map matematycznych, w tym atraktor Lorenz , mapa logistyczna, mapa kota Arnolda, mapa podkowy, mapa Honona i mapa Rosslera.

Daniel Erdely (ur. 1956)

Dziennikarz Ivars Peterson pisze o Spidronach: "Pole trójkątów rozpada się i skręca w faliste, krystaliczne morze. Kryształowa kula wyrasta spiralnie, labiryntowymi przejściami. Fasetowane cegły układają się ściśle w schludną, zwartą strukturę. U podstaw każdego z tych obiektów leży niezwykła geometria kształt złożony z sekwencji trójkątów - spiralnego wielokąta przypominającego ogon konika morskiego "W 1979 r. grafik Daniel Erdely stworzył przykład systemu Spidron, jako część swojej pracy domowej na temat teorii form Emö Rubika na Uniwersytecie w Budapeszcie. Erdely eksperymentował z wcześniejszymi wersjami tego dzieła już w 1975 roku. Aby stworzyć Spidron, narysuj trójkąt równoboczny, a następnie narysuj linie z trzech narożników tego trójkąta do punktu w jego środku, tworząc trzy identyczne trójkąty równoramienne. Następnie narysuj odbicie jednego z tych trójkątów równoramiennych, aby wystrzelił z boku oryginalnego trójkąta. Utwórz nowy, mniejszy trójkąt równoboczny, używając jednego z dwóch krótkich boków wystającego trójkąta równoramiennego jako podstawy. Powtarzając procedurę, utworzysz spiralno trójkątną strukturę, która staje się coraz mniejsza. Na koniec możesz usunąć oryginalny trójkąt równoboczny i połączyć dwie trójkątne struktury wzdłuż długiego boku największego trójkąta równoramiennego, aby utworzyć kształt konika morskiego. Znaczenie Spidrona wynika z jego niezwykłych właściwości przestrzennych, w tym jego zdolności do tworzenia różnorodnych wypełniających przestrzeń wielościanów i wzorów płytek. Jeśli czołgamy się jak mrówka po głębszych obszarach ogona konika morskiego, stwierdzamy, że powierzchnia dowolnego równobocznego trójkąta jest równa sumie obszarów wszystkich mniejszych trójkątów. Nieskończony zbiór mniejszych trójkątów może zostać wbity w taki trójkąt równoboczny bez nakładania się. Po pomarszczeniu we właściwy sposób Spidrony zapewniają nieskończony zbiornik na wspaniałe rzeźby 3D. Możliwe praktyczne przykłady Spidronów obejmują płytki akustyczne i amortyzatory do maszyn.

Benoit B. Mandelbrot (1924 - 2010)

David Darling pisze, że zbiór Mandelbrota, lub w skrócie M-set, jest "najlepiej znanym fraktalem i jednym z najbardziej… znanych pięknych obiektów matematycznych". Księga rekordów Guinnessa nazwała go "najbardziej skomplikowanym przedmiotem w matematyce". Arthur C. Clarke podkreśla, w jakim stopniu komputer jest użyteczny do uzyskania wglądu: "Zasadniczo [zbiór Mandelbrota] można było odkryć, gdy tylko ludzie nauczą się liczyć. Ale nawet jeśli nigdy się nie zmęczyli i nigdy nie zrobili pomyłka, wszyscy ludzie, którzy kiedykolwiek istnieli, nie byliby w stanie wykonać elementarnej arytmetyki wymaganej do stworzenia zestawu Mandelbrota o dość skromnym powiększeniu. " Zbiór Mandelbrota to fraktal, obiekt, który nadal wykazuje podobne szczegóły konstrukcyjne, bez względu na to, jak bardzo powiększona jest krawędź obiektu. Pomyśl o pięknych obrazach ze zbioru M jako o matematycznych pętlach sprzężenia zwrotnego. W rzeczywistości zestaw jest tworzony przez iterację lub powtarzanie bardzo prostej formuły z_n+1 = z_n² + c, dla złożonych wartości z i c, i dla z₀ = 0. Zbiór zawiera wszystkie punkty, dla których wzór nie wytwarza wartości, które różnią się od nieskończoności. Pierwsze surowe zdjęcia zbioru M zostały narysowane w 1978 r. przez Roberta Brooksa i Petera Matelskiego, a następnie pojawił się przełomowy artykuł Mandelbrota w 1980 r. na temat jego fraktalnych aspektów oraz bogactwa geometrycznej i algebraicznej informacji, którą przekazuje. Struktura zbioru M zawiera super cienkie spiralne i marszczące ścieżki, łączące nieskończoną liczbę kształtów wysp. Komputerowe powiększenia zbioru M z łatwością dadzą zdjęcia, których nigdy wcześniej nie widziały ludzkie oczy. Niesamowita ogromność M-setów doprowadziła autorów Tima Wegnera i Marka Petersona do zauważenia: "Być może słyszałeś o firmie, która za opłatą nazwie gwiazdę po tobie i zapisze ją w książce. Może to samo wkrótce będzie zrobione ze zbiorem Mandelbrota! "

Robert L. Griess, Jr. (ur. 1945)

W 1981 r. amerykański matematyk Robert Griess skonstruował Monster - największą i jedną z najbardziej tajemniczych spośród sporadycznych grup, szczególny zestaw grup w dziedzinie teorii grupy. Dążenie do zrozumienia Potwora pomogło matematykowi zrozumieć niektóre podstawowe elementy składowe symetrii oraz sposób, w jaki takie bloki konstrukcyjne wraz z wyjątkowymi podrodzinami można wykorzystać do rozwiązania głębokich problemów związanych z symetrią w matematyce i fizyce matematycznej. Możemy myśleć o grupie Monster jako zadziwiającym płatku śniegu. Z ponad 10⁵³ symetriami, które istnieją w przestrzeni 196,884 wymiarów! Griess powiedział, że "uzależnił się" od budowy potworów w 1979 r., kiedy był żonaty, a jego żona była "bardzo wyrozumiała" podczas intensywnych pościgów, kiedy brał wolne tylko w Święto Dziękczynienia i Boże Narodzenie. W 1982 r. opublikowano wreszcie jego 102 stronicową pracę na temat Potwora. Matematycy dziwili się, że Griess mógł zbudować Potwora bez użycia komputera. Więcej niż zwykła ciekawość, struktura Potwora sugeruje głębokie powiązania między symetrią a fizyką, a może nawet mieć związek z teorią strun, która zakłada, że wszystkie podstawowe cząstki we wszechświecie są zbudowane z małych wibrujących pętli energii. Mark Ronan w swojej książce "Symetria i Potwór" pisze, że potwór "przybył przed czasem - kawałek matematyki dwudziestego drugiego wieku, który przypadkiem przeszedł do XX wieku". W 1983 roku fizyk Freeman Dyson napisał, że Potwór może być "wbudowany w jakiś nieokreślony sposób w strukturę wszechświata". W 1973 roku Griess i Bernd Fischer przewidzieli istnienie Potwora, a John Conway nadał temu obiektowi swoją nazwę. W 1998 roku Richard Borcherds otrzymał Medal Fieldsa za pracę nad zrozumieniem Potwora i jego głębokich związków z innymi dziedzinami matematyki i fizyki

Glen Richard Hall (ur. 1954)

W 1982 roku Glen Hall opublikował swój słynny artykuł badawczy "Acute Triangles in the n-Ball". Był to pierwszy opublikowany artykuł Hall′a na temat matematyki, w którym omówiono pracę, którą prowadził, przyjmując klasę prawdopodobieństwa geometrycznego, wykładaną na University of Minnesota. Wyobraź sobie, że losowo wybierasz trzy punkty w okręgu, aby utworzyć trójkąt. Hall zastanawiał się, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania "ostrego trójkąta", nie tylko dla trójkątów wewnątrz koła, ale także w wyższych wymiarach, takich jak kule wewnętrzne i hipersfery. Te uogólnienia koła nazywane są kulkami n-wymiarowymi. Ostry trójkąt to taki, w którym każdy z trzech kątów jest mniejszy niż 90 stopni. Poniżej znajduje się kilka wartości dla P_m prawdopodobieństwa wybrania ostrego trójkąta w n-kulce, jeśli trzy punkty na trójkącie zostaną wybrane niezależnie i równomiernie: P₂ = 4/π² - 1/8 ≈ 0,280285 (okrąg) P₃ = 33/70 ≈ 0,471429 (kula) P₄ = 256/(45π²) + 1/32 ≈ 0,607655 (czterowymiarowa hipersfera) P₅ = 1415/2002 ≈ 0,706793 (pięcio-wymiarowa hipersfera) P₆ = 2048 / (315π²) + 31/256 ≈ 0,779842 (sześciowymiarowa hipersfera) Hall zauważył, że wraz ze wzrostem wymiarów kuli wzrosło również prawdopodobieństwo wyboru trójkąta ostrego. Do czasu osiągnięcia dziewiątego wymiaru istnieje prawdopodobieństwo wybrania trójkąta ostrego o wartości 0,905106. Praca z trójkątem jest godna uwagi, ponieważ matematycy nie mieli uogólnienia pobierania trójkątów do wyższych wymiarów aż do wczesnych lat 80. Hall, w osobistym komunikacie , zauważa, że był zdumiony potencjalną przemianą prawdopodobieństwa między racjonalnymi i irracjonalnymi rozwiązaniami stosownie do wymiaru kuli, oscylacją wymiarową, której matematycy prawdopodobnie nigdy nie przypuszczali przed tymi badaniami. Liczby wymierne to te, które można wyrazić jako stosunek dwóch liczb całkowitych. Zauważ, że matematyk Christian Buchta w 1986 roku był odpowiedzialny za dostarczenie zamkniętych ocen całek Halla.

Vaughan Frederick Randal Jones (ur. 1952)

W matematyce nawet najbardziej splątana pętla w trzech wymiarach może być reprezentowana jako rzut lub cień na płaską powierzchnię. Gdy sfabrykowane są węzły matematyczne, niewielkie przerwy w liniach często wskazują, kiedy nić przechodzi nad lub pod inną nić. Jednym z celów teorii węzłów jest znalezienie niezmienników węzłów, gdzie to określenie niezmiennik odnosi się do matematycznej cechy lub wartości, która jest taka sama dla równoważnych węzłów, dzięki czemu można ją wykorzystać do wykazania, że dwa węzły są różne. W 1984 r. wszyscy teoretycy węzłów byli zaskoczeni początkowym wynalazkiem nowozelandzkiego matematyka Vaughana Jonesa, niezmiennika, zwanego obecnie wielomianem Jonesa, który mógł odróżnić więcej węzłów niż jakikolwiek poprzedni niezmiennik. Jones dokonał swojego przełomowego odkrycia przez przypadek, pracując nad problemem fizyki. Matematyk Keith Devlin pisze: "Wyczuwając, że natknął się na nieoczekiwane, ukryte połączenie, Jones skonsultował się z teoretykiem węzłów, Joan Birman, a reszta, jak mówią, jest historią…" Badania Jonesa "otworzyły drogę do całego szeregu nowych niezmienników wielomianowych, co doprowadziło do dramatycznego wzrostu badań w teorii węzłów, niektóre z nich zostały pobudzone rosnącą świadomością nowych ekscytujących zastosowań zarówno w biologii, jak i fizyce…".Biolodzy badający nici DNA są zainteresowani węzłami i jak mogą pomóc wyjaśnić funkcjonowanie materiału genetycznego w komórkach, a nawet pomóc w odporności na ataki wirusowe. Systematyczna procedura lub algorytm pozwala matematykom wyrazić wielomian Jonesa dla dowolnego węzła, w oparciu o jego wzór skrzyżowań. Stosowanie niezmienników węzłów ma długą historię. Około 1928 r. James W. Alexander (1888-1971) wprowadził pierwszy wielomian związany z węzłami. Niestety, wielomian Aleksandra nie był użyteczny do wykrywania różnicy między węzłem a jego odbiciem lustrzanym, co może zrobić wielomian Jonesa. Cztery miesiące po tym, jak Jones ogłosił swój nowy wielomian, ogłoszono bardziej ogólny wielomian HOMFLY.

Jeffrey Renwick Weeks (ur. 1956)

Geometria hiperboliczna jest nieeuklidesową geometrią, w której nie obowiązuje postulat równoległości Euklidesa. W tej geometrii dla dwóch wymiarów, dla dowolnej linii i dowolnego punktu, który nie jest na niej, wiele innych linii przechodzi przez punkt bez przecinania pierwszej linii. Geometria hiperboliczna jest czasami wizualizowana za pomocą powierzchni w kształcie siodeł, na których suma kątów trójkąta jest mniejsza niż 180 stopni. Takie dziwne geometrie mają wpływ na matematyków, a nawet kosmologów, którzy rozważają możliwe właściwości i kształty dla całego wszechświata. W 2007 r. David Gabai z Princeton University, Robert Meyerhoff z Boston College i Peter Milley z University of Melbourne w Australii udowodnili, że szczególna hiperboliczna trójwymiarowa przestrzeń, czyli 3-romaitość, ma najmniejszą objętość. Ten kształt, zwany rozmaitością Weeksa po odkryciu amerykańskiego matematyka, Jeffreya Weeksa, są niezwykle zainteresowane topologami, którzy katalogują kształty tego rodzaju. W tradycyjnej geometrii euklidesowej koncepcja "najmniejszej objętości" przestrzeni trójwymiarowej jest bez znaczenia. Kształty i objętości można skalować do dowolnego rozmiaru. Jednak przestrzenna krzywizna hiperbolicznej geometrii zapewnia wewnętrzną jednostkę długości, powierzchni i objętości. W 1985 r. Weeks znalazł małą rozmaitość o objętości około 0,94270736. (Rozmaitość Weeksa jest związana z przestrzenią wokół pary splecionych pętli, znaną jako łącze Whitehead.) Do 2007 r. nikt nie wiedział na pewno, czy Rozmaitość Weeksa jest najmniejsza. MacArthur Fellow Jeffrey Weeks uzyskał tytuł doktora w matematyce z Princeton University w 1985 r. pod kierunkiem Williama Thurstona. Jedną z jego głównych pasji jest wykorzystanie topologii do wypełnienia luki między geometrią a kosmologią obserwacyjną. Opracował również interaktywne oprogramowanie do wprowadzania geometrii do młodych studentów i umożliwienia im eksploracji wszechświatów, które są skończone, ale nie mają granic.

Dorin Andrica (ur. 1956)

Liczba pierwsza jest liczbą całkowitą, która ma dokładnie dwa odrębne dzielniki liczb całkowitych: 1 ona sama. Przykłady liczb pierwszych obejmują 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23,29,31 i 37. Wielki szwajcarski matematyk Leonhard Euler (1707-1783) zauważył: "Matematycy na próżno próbowali tego dnia, aby odkryć pewien porządek w sekwencji liczb pierwszych, i mamy powody, by wierzyć, że jest to tajemnica, w którą umysł nigdy się nie wniknie ". Matematycy od dawna szukają wzorców w sekwencji liczb pierwszych, a także w przerwach między nimi, gdzie termin luka odnosi się do różnicy między dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi. Wartość średniej luki między liczbami pierwszymi wzrasta jako logarytm naturalny liczby pierwszej na obu końcach luki. Jako przykład znanej dużej luki weź pod uwagę różnicę 879 liczb niepierwszych po liczbie pierwszej 277,900,416,100,927. W 2009 r. największa znana pierwotna luka miała długość 337,446. W 1985 r. Rumuński matematyk Dorin Andrica opublikował "Przypuszczenie Andricy", które dotyczy luk między liczbami pierwszymi. W szczególności przypuszczenie stwierdza, że √P_n+1 - √P_n n jest n-tą liczbą pierwszą. Rozważmy na przykład liczby pierwsze 23 i 29. Stosując przypuszczenie Andricy, mamy √29 - √23 < 1 . Innym sposobem pisania jest g_n < 2√p_n + 1, gdzie g_n jest n-tą pierwszą przerwą, i g_n = p_n+1 - p_n . W 2008 r. wykazano, że przypusczenie jest prawdziwe dla n do 1.3002 X 10¹⁶ Jeśli zbadamy lewą stronę nierówności w przypuszczeniu Andricy, A_n = √p_n+1 - √p_n najwyższa wartość dla A_n kiedykolwiek znaleziona wynosi n = 4, gdzie A_n jest w przybliżeniu równa 0,67087. Przypuszczenie Andrici zostało stwierdzone w momencie, gdy komputery stały się wszechobecne, co zachęciło do ciągłego przypływu aktywności w celu zrozumienia i znalezienia kontrprzykładów, które mogłyby pokonać hipotezę. Do tej pory przypuszczenie Andrici nadal jest aktualna, chociaż pozostaje również niepotwierdzona.

David Masser (ur. 1948), Joseph Oesterle (ur. 1954)

Przypuszczenie ABC jest uważane za jeden z najważniejszych nierozwiązanych problemów teorii liczb, badania właściwości liczb całkowitych. Jeśli przypuszczenie jest poprawne, matematycy będą w stanie udowodnić wiele innych znanych twierdzeń w zaledwie kilku wierszach. Ta hipoteza została po raz pierwszy rozwinięta w 1985 r. przez matematyków Josepha Oesterle i Davida Massera. Aby zrozumieć przypuszczenie, definiujemy liczbę bez kwadratów jako liczbę całkowitą, która nie jest podzielna przez kwadrat żadnej liczby. Na przykład 13 jest liczbą bezkwadratową, ale 9 (podzielne przez 3²) nie. Część kwadratowa liczby całkowitej n, oznaczona sqp(n), jest największą liczbą wolną od kwadratów, którą można utworzyć, mnożąc czynniki pierwsze n. Zatem dla n = 15 pierwszymi czynnikami są 5 i 3, a 3 x 5 = 15, liczba bezkwadratowa. Więc sqp (15) = 15. Z drugiej strony, dla n = 8, wszystkie czynniki pierwsze wynoszą 2, co oznacza, że sqp (8) = 2. Podobnie, sqp (18) = 6, co można znaleźć przez pomnożenie jego czynniki 3 i 2 oraz sqp (13) = 13. Następnie rozważmy liczby A i B, które nie mają wspólnych cech, a C jest ich sumą. Na przykład rozważmy A = 3 i B = 7 i C = 10. Część ABC produktu bez kwadratów wynosi 210. Zauważ, że sqp (ABC) jest większe niż C, ale nie zawsze tak jest. Można udowodnić, że stosunek sqp (ABC) / C może być arbitralnie mały dla odpowiedniego wyboru A, B i C. Jednak przypuszczenie ABC stwierdza, że [sqp (ABC)]″/ C osiąga minimalną wartość, jeśli n jest dowolną liczbą rzeczywistą większą niż 1. Dorian Goldfeld pisze: "Hipoteza ABC. .. jest bardziej niż użytkowy; dla matematyków jest to także kwestia piękna. Widząc tak wiele problemów Diofantycznych [rozwiązanie całkowitoliczbowe] nieoczekiwanie zamknięte w jednym równaniu, rodzi się poczucie, że wszystkie subdyscypliny matematyki są aspektami jednej podstawowej jedności. ... "

John Horton Conway (1937-2020)

Rozważ następującą sekwencję liczb: 1, 11 ,21 , 1211, 111221 ... Aby docenić sposób tworzenia sekwencji, pomóż wymawiać głośno wpisy w każdym rzędzie. Zauważ, że drugi wpis ma dwa "jedynki". tym samym dając 21 dla trzeciego wpisu. Trzeci wpis ma jeden "dwa" i jeden "jeden". Rozszerzając ten wzorzec, może być wygenerowana cała sekwencja . Sekwencję obszernie opisał matematyk John Conway. który nazwał proces "audioaktywnym". Sekwencja rośnie dość szybko. Na przykład. wiersz 16 to
13211321322113311213211331121113122112132113121113222112311311222113
1112311332111213211322211312113211.
Jeśli miałbyś dokładnie przestudiować sekwencję. zauważysz przewagę jedynek nad mniej powszechnymi dwójkami i trójkami, i nie ma liczb większych niż 3. Czy można udowodnić, że 333 nigdy nie może wystąpić? Liczba cyfr w n-tym terminie tej sekwencji jest w przybliżeniu proporcjonalna do stałej Conwaya: (1.3035772690342693912570991121525518907307025046594 ... ). Matematycy uznali za niezwykłe, że proces budowy "dziwacznej" audioaktywnej daje tę stałą, która okazuje się być unikalnym dodatnim rzeczywistym pierwiastkiem równania wielomianowego. Co ciekawe. stała ta ma zastosowanie do wszystkich sekwencji początkowych. z wyjątkiem 22. Istnieje wiele wariantów. Brytyjski badacz Roger Hargrave rozszerzył ten pomysł na odmianę, w której rząd bierze pod uwagę wszystkie wystąpienia każdego znaku w poprzednim rzędzie, na przykład sekwencja zaczynająca się od 123 to 123. 111213.411213. 14311213 ... Co ciekawe, uważa, że wszystkie jego sekwencje w końcu oscylują e między 23322114 a 32232114. Czy możesz to udowodnić? Jakie są właściwości odwrotnych sekwencji podobieństwa? Czy zaczynając od określonego wiersza, można pracować wstecz i obliczyć początkowy ciąg symboli?

Stephen Wolfram (ur. 1959)

Nastąpiło przesunięcie sposobu, w jaki matematyka była praktykowana w ciągu ostatnich 20 lat, przejście od czystej teorii i dowodów do korzystania z komputerów i eksperymentów. Zmiana ta wynika częściowo z pakietów oprogramowania obliczeniowego, takich jak Mathematica, sprzedawanych przez Wolfram Research of Champaign, Illinois, opracowanych przez matematyka i teoretyk Stephena Wolframa. Pierwsza wersja Mathematica została wydana w 1988 roku, a dziś zapewnia ogólne środowisko komputerowe, które organizuje liczne funkcje algorytmiczne, wizualizacji i interfejsu użytkownika. Mathematica jest jednym z wielu dostępnych dzisiaj pakietów dla matematyki eksperymentalnej, w tym Maple, Mathcad, MATLAB i Maxima. Od lat 60. istniały pojedyncze pakiety oprogramowania do konkretnych zadań numerycznych, algebraicznych, graficznych i innych, a badacze zainteresowani chaosem i fraktalami od dawna używali komputerów do swoich badań. Mathematica pomogła zjednoczyć różne funkcje specjalistycznych pakietów w wygodny sposób. Dzisiaj Mathematica jest wykorzystywana w inżynierii, nauce, finansach, edukacji, sztuce, projektowaniu odzieży i innych dziedzinach wymagających wizualizacji i eksperymentów. W 1992 r. Ukazało się czasopismo Experimental Mathematics, które pomogło pokazać, w jaki sposób można zastosować obliczenia do badania struktur matematycznych i identyfikacji ważnych właściwości i wzorców. Pedagog i autor David Berlinski pisze: "Komputer… zmienił samą naturę doświadczenia matematycznego, sugerując po raz pierwszy, że matematyka, podobnie jak fizyka, może jeszcze stać się dyscypliną empiryczną, miejscem, w którym rzeczy są odkryte, ponieważ są widziane . " Matematycy Jonathan Borwein i David Bailey piszą: "Być może najważniejszym postępem w tym kierunku jest rozwój oprogramowania matematycznego o szerokim spektrum, takiego jak Mathematica i Maple." Obecnie wielu matematyków ma wysokie umiejętności w zakresie narzędzi i używa ich jako części swoich codzienne prace badawcze. W rezultacie zaczynamy widzieć falę nowych wyników matematycznych odkrytych częściowo lub całkowicie za pomocą narzędzi komputerowych

De Witt L. Sumners (ur. 1941), Stuart G. Whittington (ur. 1942)

Od czasów starożytnych sfrustrowani żeglarze i tkacze obserwowali widoczną tendencję lin i sznurków do plątania się i wiązania - co jest przejawem słynnego prawa Murphy′ego, które mówi: "Jeśli coś może pójść nie tak, pójdzie nie tak". Jednak do niedawna żadna rygorystyczna teoria nie wyjaśniła tego szalonego zjawiska. Rozważ tylko jedną praktyczną konsekwencję: pojedynczy węzeł w linie alpinisty może zmniejszyć obciążenie, które lina może wytrzymać bez zerwania nawet o 50 procent. W 1988 roku matematyk De Witt L. Sumners i chemik Stuart C. Whittington wyraźnie wyjaśnili to zjawisko, modelując liny i inne sznurki. Podobne obiekty, takie jak chemiczne łańcuchy polimerowe, jako samowystarczalne losowe spacery. Wyobraź sobie mrówkę spoczywającą w punkcie 10 na sześciennej siatce. Może losowo chodzić w dowolnym z sześciu kierunków, śledząc ścieżkę przez sieć (czyli do tyłu lub do przodu w dowolnym z trzech kierunków). Aby naśladować obiekty fizyczne, które nie mogą jednocześnie zajmować tej samej przestrzeni, wędrówka mrówki odbywa się samodzielnie, dzięki czemu nie można odwiedzić żadnego miejsca w przestrzeni więcej niż raz. Na podstawie swoich badań Sumners i Whittington udowodnili ogólny wynik: prawie wszystkie wystarczająco długie, samodzielne spacery losowe zawierają węzeł Nie tylko ich badania pomagają wyjaśnić, dlaczego im dłuższy wąż ogrodowy w garażu, tym większe prawdopodobieństwo, że będzie wiązany - lub dlaczego wiązana lina znaleziona na miejscu zbrodni może nie mieć znaczenia kryminalistycznego - ta praca ma ogromne implikacje dla naszego zrozumienia splątania DNA i protemowych kręgosłupów. Dawno temu eksperci od zwijania białek wierzyli, że tworzenie węzłów wykracza poza możliwości białka, ale dziś znaleziono wiele takich węzłów. Niektóre węzły mogą stabilizować strukturę białka. Jeśli naukowcy potrafią dokładnie przewidzieć strukturę białka. mogą być w stanie lepiej zrozumieć choroby i opracować nowe leki, które opierają się na trójwymiarowym kształcie białka.

Temple H. Fay (ur. 1940)

Parametryzacje to zestawy równań, które wyrażają zbiór wielkości jako funkcje wielu zmiennych niezależnych. Mówi się, że krzywa w płaszczyźnie jest sparametryzowana, jeśli zbiór współrzędnych (x, y) na krzywej jest reprezentowany jako funkcje zmiennej t. Na przykład w zwykłych kartezjańskich współrzędnych mamy standardowe równanie koła: x² + y² = r², gdzie r jest promieniem koła. Możemy również zdefiniować okrąg w kategoriach równań parametrycznych: x = r⋅cos(t), y=r⋅sin(t), gdzie 0 < t ≤ 360 stopni lub 0 < t ≤ 2π radianów. Aby utworzyć wykres programiści komputerowi zwiększają wartość t i łączą wynikowe (x, y) punkty. Matematycy i artyści komputerowi często uciekają się do reprezentacji parametrycznych, ponieważ pewne formy geometryczne są bardzo trudne do opisania jako pojedyncze równanie, tak jak można by stworzyć koło. Na przykład, aby narysować stożkową helisę, spróbuj x = a ⋅ z ⋅ sin (t), y = a ⋅ z ⋅cos(t) i z = t/(2πc), gdzie a i c są stałymi. Stożkowe helisy są dziś stosowane w niektórych rodzajach anten. Wiele krzywych algebraicznych i transcendentalnych wyraża piękno w symetrii, liściach i płatach oraz zachowaniu asymptotycznym. Krzywe motyla, opracowane przez Temple Fay na University of Southern Mississippi. to jedna z takich klas pięknych, skomplikowanych kształtów. Równanie krzywej motyla można wyrazić za pomocą współrzędnych biegunowych ρ= e^cosθ - 2cos (4θ) + sin⁵(θ/12). Ta formuła opisuje trajektorię punktu, gdy śledzi on ciało motyla. Zmienna ρ jest odległością promieniową punktu początkowego. Krzywa motyla jest znacząca ze względu na stopień, w jakim fascynuje zarówno studentów, jak i matematyków od 1989 roku, kiedy została po raz pierwszy zaprezentowana, i zachęca studentów do eksperymentowania z wariantami o dłuższych okresach powtarzania, takich jak ρ= e^cosθ - 2.1cos(6θ) + sin₇ (θ/30).

Neil James Alexander Sloane (ur. 1939)

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) to niezwykle duża, przeszukiwalna baza danych sekwencji liczb całkowitych używana przez matematyków, naukowców i laików, którzy są zaintrygowani sekwencjami liczbowymi w dyscyplinach od teorii gier, zagadek i teorii liczb do chemii, komunikacji i fizyki. O zadziwiającej różnorodności OEIS świadczą dwa przykładowe wpisy: liczba sposobów zasznurowania buta z n parami oczek oraz zwycięskie pozycje starożytnej gry planszowej Tchoukaillon Solitaire, w zależności od liczby kamieni. Strona internetowa OEIS (www. research.attcom / - njaslsequencesl) zawiera ponad 150 000 sekwencji, co czyni ją największą bazą tego rodzaju. Każdy wpis zawiera kilka pierwszych terminów sekwencji, słowa kluczowe, motywy matematyczne i odniesienia do literatury. Neil Sloane, urodzony w Wielkiej Brytanii amerykański matematyk, zaczął zbierać sekwencje liczb całkowitych w 1963 r. jako doktorant na Uniwersytecie Cornell, a jego pierwsze wcielenie OEIS zostało zapisane na kartach perforowanych - a następnie w książce z 1973 r. Zatytułowanej A Handbook of Integer Sequence zawierające 2400 sekwencji i kontynuacja w 1995 r. Z 5487 sekwencjami. Wersja internetowa stała się dostępna w 1996 roku i wciąż dodaje około 10 000 nowych wpisów rocznie. Gdyby został dziś opublikowany jako książka, zajmowałby 750 tomów wielkości książki z 1995 roku. OEIS jest monumentalnym osiągnięciem i jest często używany do identyfikacji sekwencji lub do ustalenia aktualnego stanu znanej sekwencji. Jednak jego najgłębsze zastosowanie może być pomocne w sugerowaniu nowych domysłów. Na przykład matematyk Ralf Stephan ostatnio łączyć się z wieloma domysłami na wielu polach po prostu poprzez badanie sekwencji numerów OEIS. Porównując sekwencje z tymi samymi wiodącymi terminami (lub sekwencjami związanymi z prostymi transformacjami), matematycy mogą zacząć rozważać nowe konsensusy dotyczące rozszerzeń szeregów mocy, teorii liczb, kombinatoryki, nawrotów nieliniowych, reprezentacji binarnych i innych dziedzin matematyki.

Christopher Walter Monckton, 3. wicehrabia Monckton z Brenchley (ur. 1952)

Niezwykle trudne puzzle, znane jako Eternity Puzzle, stały się szaleństwem w 1999 i 2000 roku i zostały poddane poważnej analizie matematycznej i komputerowej. Wszystkie 209 elementów układanki są zbudowane z trójkątów równobocznych i pół trójkątów o takich samych łącznych powierzchniach jak sześć trójkątów. Zadanie polega na dopasowaniu elementów do jednego, prawie regularnego dwunastokąta (12-stronny wielokąt). Christopher Monckton, wynalazca puzzli, ogłosił nagrodę w wysokości 1 miliona funtów, gdy łamigłówka została wydana komercyjnie przez Ertl Toys w czerwcu, 1999 r. Początkowe eksperymenty komputerowe Moncktona zasugerowały mu, że układanka nie zostanie rozwiązana przez kilka lat, a może znacznie dłużej . Rzeczywiście, wyczerpujące przeszukanie wszystkich możliwości zajęłoby tak dużo czasu, że najszybszy komputer potrzebowałby wielu milionów lat na znalezienie rozwiązania przy użyciu prostych wyszukiwań. Być może ku rozczarowaniu Monckton, dwóch brytyjskich matematyków, Alex Selby i Oliver Riordan, ujawnili prawidłowe płytki 15 maja 2000 r., Które uzyskali za pomocą komputerów, i zgarnęli nagrodę. Co ciekawe, odkryli, że wraz ze wzrostem liczby elementów układanki podobnej do Wieczności trudność wzrosła do około 70 elementów. Jednak ponad 70 sztuk liczba możliwych poprawnych rozwiązań zaczyna rosnąć. Uważa się, że oficjalna Eternity Puzzle ma co najmniej 10⁹⁵ rozwiązań - znacznie więcej niż liczba atomów w naszej galaktyce. Niemniej jednak łamigłówka jest wciąż diabelnie trudna, ponieważ istnieje znacznie więcej nierozwiązanych rozwiązań. Ponieważ Selby i Riordan zdali sobie sprawę, że wiele rozwiązań powinno być możliwych, postanowili celowo odrzucić wskazówki Moncktona dotyczące własnego rozwiązania, aby rozważyć ewentualne łatwiejsze rozwiązania. W 2007 roku Monckton wypuścił Eternity II Puzzle z 256 kwadratowymi puzzlami, których kolorowe krawędzie muszą się zgadzać, gdy elementy pasują do siatki 16 x 16. Możliwa liczba konfiguracji szacowana jest na 1,115 x 10⁵⁵⁷.

John Robert Hendricks (1929-2007)

Tradycyjny magiczny kwadrat zawiera liczby całkowite ułożone w postaci kwadratowej siatki, dzięki czemu liczby w każdym rzędzie. kolumna. i przekątna sumują się do tej samej sumy, jeśli liczby całkowite są kolejnymi liczbami od I do N². mówi się, że kwadrat należy do N-tego rzędu. W magicznym tesseract (czterowymiarowa kostka). obiekt zawiera liczby od 1 do N⁴ ułożone w taki sposób, że suma liczb w każdym z wierszy N³. Kolumny N³, podsatwy N³, pliki N³ (termin oznaczający czwarty kierunek przestrzenny). a w 8 głównych czworokątach (które przechodzą przez środek i łączą przeciwległe narożniki) jest stała suma S = N (1 + N⁴)/2. gdzie N jest rzędem tesseract. Istnieje w sumie 22 272 magicznych tesseraktów rzędu 3. Termin doskonały magiczny tesserakt oznacza, że magiczna suma jest osiągana nie tylko w rzędach. kolumny. filary. pliki. i czworokąty. ale także we wszystkich przekątnych i trójkątach (przestrzenne przekątne kostek tesseract). Idealny magiczny tesseract wymaga, aby wszystkie kostki były idealne, a wszystkie kwadraty muszą być idealne (to znaczy pandiagonalne, aby wszystkie połamane przekątne kwadratu sumowały się do stałej magicznej). Kanadyjski badacz John Hendricks był jednym z czołowych światowych ekspertów w dziedzinie magicznych przedmiotów o wyższych wymiarach. i udowodnił, że perfekcyjnego magicznego tesseractu nie można osiągnąć przy żadnych zamówieniach poniżej 16 i że istnieje doskonały magiczny teesactact rzędu 16. Ta doskonała magiczna teza rzędu 16 zawiera liczby 1.2.3 ... 65.536 i ma magiczną sumę 534,296.

Juan Manuel Rodriguez Parrondo (ur. 1964)

Pod koniec lat dziewięćdziesiątych hiszpański fizyk Juan Parrondo pokazał, w jaki sposób dwie gry gwarantują, że gracz straci wszystkie swoje pieniądze, i można grać naprzemiennie, aby wzbogacić gracza. Pisarka naukowa Sandra Blakeslee pisze, że Parrondo "odkrył coś, co wydaje się być nowym prawem natury, które może pomóc między innymi wyjaśnić, jak powstało życie z pierwotnej zupy, dlaczego popularność Prezydenta Clintona wzrosła po tym, jak został złapany w skandalu seksualnym, i dlaczego inwestowanie w utratę akcji może czasem prowadzić do większych zysków kapitałowych ". Zadziwiający paradoks ma zastosowania od dynamiki populacji do oceny ryzyka finansowego. Aby zrozumieć paradoks, wyobraź sobie, że grasz w dwie gry hazardowe z tendencyjnymi komunikatami. W grze A za każdym razem moneta jest rzucana, prawdopodobieństwo P₁ wygranej wynosi mniej niż 50 procent, wyrażone jako P₁ = 0,5 - x. Jeśli wygrasz, dostaniesz 1$; w przeciwnym razie tracisz 1$. W grze B najpierw sprawdzasz swoje zarobki, aby sprawdzić, czy są one wielokrotnością 3. Jeśli nie, rzucasz inną stronniczą monetą z prawdopodobieństwem wygrania0 P₂ = (3/4 - x). Jeśli tak, rzucasz trzecią stronniczą monetą z prawdopodobieństwem wygrania zaledwie P₃ = (1/10) - x. W grze A lub B rozgrywanej osobno, na przykład przy x = 0,005, masz gwarancję przegranej na dłuższą metę. Jeśli jednak grasz na przemian (lub nawet przypadkowo przełączasz się między grami), w końcu będziesz bogaty poza najśmielsze marzenia! Należy pamiętać, że wynik gry A wpływa na grę B podczas tej zmiany gry. Parrondo początkowo wymyślił swoją paradoksalną grę w 1996 roku. Inżynier biomedyczny Derek Abbott z University of Adelaide, Australia, ukuł termin paradoks Parrondo, aw 1999 roku opublikował swoją pracę, która zweryfikowała sprzeczny z intuicją wynik Parrondo.

John Horton Conway (1937-2020), Jade P. Vinson (ur. 1976)

Rozważmy tradycyjną bryłę wielościenną zbudowaną z kolekcji wielokątów połączonych na ich krawędziach. Holyhedron to wielościan z każdą powierzchnią zawierającą co najmniej jeden otwór w kształcie wielokąta. Granice otworów nie mają ze sobą wspólnego punktu ani granicy ścian. Na przykład rozważmy bryłę z sześcioma ścianami. Następnie wyobraź sobie, jak przepycham pięciokątny pręt przez I twarz, przez sześcian na drugą stronę, aby wytworzyć (na przykład) pięciokątny tunel. W tym momencie konstrukcji stworzyliśmy obiekt o ścianach II (6 oryginalnych ścian i 5 nowych ścian pięciokątnego tunelu) i tylko 2 z tych ścian II mają dziurkowane otwory. Za każdym razem, gdy wybijamy dziurę, tworzymy również więcej twarzy. Ogromne wyzwanie dla znalezienie Holyhedronu polega na zrobieniu otworów tak, aby ostatecznie przebiły więcej niż jedną ściankę, aby zmniejszyć liczbę ścianek, które nie mają otworów. Koncepcję Holyhedron po raz pierwszy wprowadził matematyk z Princeton, John H. Conway w 1990 roku, który zaoferował nagrodę w wysokości 10 000$ każdemu, kto mógłby znaleźć taki przedmiot. Zastrzegł również, że jego nagroda pieniężna zostanie podzielona przez liczbę twarzy w takim obiekcie. W 1997 r. David W. Wilson ukuł słowo holyhedron, aby wskazać wielościan wypełniony dziurą. Wreszcie w 1999 roku amerykański matematyk Jade P. Vinson odkrył śwpierwszy egzemplarz Holyhedron z 78.585.627 ścianek (co oczywiście sprawiło, że nagroda pieniężna Vinsona była raczej niewielka)! W 2003 r. Specjalista ds. Grafiki komputerowej Don Hatch odkrył Holyhedron z 492 ściankami. Wyszukiwanie jest kontynuowane

Britney Gallivan (ur. 1985)

Pewnej nocy cierpisz na bezsenność i decydujesz się na zdjęcie pościeli, która ma tylko około 0,4 milimetra grubości. Złożysz ją raz i ma grubość 0,8 mm. Ile razy ją składasz, jeśli chcesz, aby grubość prześcieradła była równa odległości między Ziemią a Księżycem? Niezwykła odpowiedź jest taka, że jeśli złożysz arkusz tylko 40 razy. wtedy będziesz spał na Księżycu! W innej wersji problemu. otrzymujesz arkusz papieru o typowej grubości 0,1 milimetra. Jeśli możesz go złożyć 51 razy. stos sięgałby dalej niż słońce! Niestety, fizycznie nie jest możliwe tworzenie wielu zagięć w takich obiektach fizycznych. Przez większość XX wieku panowała mądrość, że arkusza prawdziwego papieru nie można było złożyć na pół więcej niż 7 lub 8 razy. nawet jeśli początkowy arkusz papieru był duży. Jednak. w 2002 roku. licealistka Britney Gallivan zszokowała świat, składając prześcieradło nieoczekiwanie 12 razy. W 2001 r. Gallivan określiła równania, które charakteryzują limit liczby razy, kiedy możemy złożyć arkusz papieru o danym rozmiarze w jednym kierunku. W przypadku arkusza o grubości t. możemy oszacować początkową minimalną długość L papieru, która jest wymagana do uzyskania n zgięć: L = [(πt)/6] x (2ⁿ + 4) x (2 - 1). Możemy studiować zachowanie(2ⁿ + 4) x (2 - 1). Począwszy od n = 0. mamy ciąg liczb całkowitych 0, 1, 4, 14 ,50, 186, 714, 2.794 ,11.050, 43.946 , 75,274 , 700.074 .... Oznacza to, że dla jedenastego aktu składania papieru na pół. 700,074 razy więcej materiału straciło na składaniu. na zakrzywionych krawędziach wzdłuż zagięć jako że przegrałeś przy pierwszym pasowaniu.

John W. Romein (ur. 1970) i Henri E. Bal (ur. 1958)

Awari to 3500-letnia afrykańska gra planszowa. Dzisiaj Awari to narodowa gra Ghany, rozgrywana w całej Afryce Zachodniej i na Karaibach. Awari, sklasyfikowana jako gra polegająca na liczeniu i przechwytywaniu, należy do zestawu gier strategicznych zwanych grami Mancala. Plansza Awari składa się z dwóch rzędów sześciu zagłębień w kształcie kubków, z czterema znacznikami (fasola, nasiona lub kamyki) w każdym zagłębieniu. Sześć filiżanek należy do każdego gracza, który na zmianę przesuwa nasiona. Na tum gracz wybiera jeden ze swoich sześciu kubków, wyciąga wszystkie nasiona z tego kubka i upuszcza jedno ziarno z każdego kubka przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z tego kubka. Drugi gracz bierze nasiona z jednej z sześciu filiżanek po swojej stronie i robi to samo. Kiedy gracz upuszcza swoje ostatnie nasiona do kubka po stronie przeciwnika zawierającego tylko jedno lub dwa nasiona (co daje w sumie dwa lub trzy nasiona), ten gracz usuwa wszystkie nasiona z tego kubka, usuwając je z gry. Ten sam gracz bierze również nasiona do pucharów bezpośrednio przed opróżnionym pucharem, jeśli teraz łącznie wynoszą dwa lub trzy. Gracze biorą nasiona tylko ze strony przeciwnika na planszy. Gra kończy się, gdy jeden gracz nie ma już nasion w filiżankach po swojej stronie. Kto zdobędzie większość nasion, wygrywa. Awari cieszy się ogromną atrakcją dla badaczy w dziedzinie sztucznej inteligencji, w której czasami opracowuje się algorytmy do rozwiązywania zagadek lub grania w gry, ale do 2002 roku nikt nie wiedział, czy gra była jak Tic Tac Toe, w której doskonali gracze zawsze kończyli gra w losowaniu. Na koniec informatycy John W. Romein i Henri E. Bal z Free University w Amsterdamie napisali program komputerowy, który obliczył wynik dla wszystkich 889 063 398 406 pozycji, które mogą wystąpić w grze, i udowodnił, że Awari musi zakończyć się remisem dla idealnych graczy . Ogromne obliczenia wymagały około 51 godzin w klastrze komputerowym ze 144 procesorami

Erik D. Demaine (ur. 1981), Susan Hohenberger (ur. 1978) i David Liben-Nowell (ur. 1977)

Tetris to bardzo popularna gra logiczna typu "łamigłówki", wynaleziona w 1985 roku przez rosyjskiego inżyniera komputerowego Aleksieja Paiitnova. W 2002 r. Amerykańscy informatycy oszacowali poziom trudności gry i wykazali, że ma ona podobieństwa do najtrudniejszych problemów matematycznych, które nie mają prostych rozwiązań, ale wymagają wyczerpujących analiz w celu znalezienia optymalnych rozwiązań. W Tetris gry zaczynają się na górze planszy i przesuwają się w dół. Podczas schodzenia elementu gracz może go obrócić lub przesunąć na bok. Kawałki są kształtami zwanymi tetrominoami, składającymi się z czterech kwadratów sklejonych razem w grupę o kształcie podobnym do litery T lub innego prostego wzoru. Kiedy jeden kawałek osiągnie miejsce spoczynku na dole, następny kawałek na górze spada. Ilekroć rząd u dołu jest wypełniony bez przerw, rząd ten jest usuwany, a wszystkie wyższe rzędy spadają o jeden rząd. Gra kończy się, gdy nowy pionek nie może spaść, ponieważ jest zablokowany. Celem gracza jest, aby gra trwała jak najdłużej, aby zwiększyć swój wynik. W 2002 roku Erik D. Demaine, Susan Hohenberger i David Liben-Nowell badali uogólnioną wersję gry, w której stosowano planszę planszową, która może mieć dowolną liczbę kwadratów szerokości i wysokości. Zespół odkrył, że jeśli spróbują zmaksymalizować liczbę wyczyszczonych wierszy podczas grania w określoną sekwencję pionków, gra zakończy się NP. ("NP" oznacza "niedeterministycznie wielomian.") Chociaż tę klasę problemów można sprawdzić, aby ustalić, czy rozwiązanie jest poprawne, znalezienie rozwiązania może wymagać wyjątkowo długiego czasu. Klasycznym przykładem problemu NP-zupełnego jest problem podróżującego sprzedawcy, który wiąże się z niezwykle trudnym zadaniem, jakim jest określenie najbardziej efektywnej trasy dla sprzedawcy lub sprzedawcy, który musi odwiedzić wiele różnych miast. Tego rodzaju problemy są trudne, ponieważ nie istnieje skrót ani inteligentny algorytm do szybkich rozwiązań.

Nicolas Falacci i Cheryl Heuton

NUMB3RS to amerykański program telewizyjny stworzony przez ekipę męża i żony Nicolasa Falacciego i Cheryl Heuton. Dramat kryminalny dotyczy genialnego matematyka, Charliego Eppsa, który pomaga FBI w rozwiązywaniu przestępstw, wykorzystując swoją genialną umiejętność w matematyce. Chociaż umieszczanie programu telewizyjnego w książce może się wydawać niewłaściwe tak znane koncepcje, jak Wielkie Twierdzenie Fermata lub praca Euklidesa, NUMB3RS jest znaczący, ponieważ był to pierwszy bardzo popularny cotygodniowy dramat, który obracał się wokół matematyki, miał zespół doradców matematyków, a także został przyjęty przez matematyków. Równania widoczne w serialu są prawdziwe i odnoszą się do odcinków. Treść matematyczna pokazu waha się od kryptoanalizy, teorii prawdopodobieństwa i analizy Fouriera do analizy Bayesa i podstawowej geometrii. NUMB3RS również okazał się znaczący, ponieważ stworzył wiele możliwości uczenia się dla studentów. Na przykład nauczyciele matematyki wykorzystali lekcje NUMB3RS w swoich klasach, a w 2007 r. program i jego twórcy otrzymali nagrodę Public Service grupy National Science Board za wkład w zwiększenie wiedzy naukowej i matematycznej. Znani matematycy wymienieni w NUMB3RS to Archimedes, Paul Erdös, Pierre-Simon Laplace, John von Neumann, Bernhard Riemann i Stephen Wolfram . Kendrick Frazier pisze: "Nauka, rozum i racjonalne myślenie odgrywają tak znaczącą rolę w opowieściach, że Amerykańskie Stowarzyszenie na rzecz Postępu Naukowego zorganizowało całe popołudniowe sympozjum podczas dorocznego spotkania w 2006 r. Na temat roli programu w zmianie postrzegania matematyki przez społeczeństwo . " Odcinki zaczynają się od mówionego hołdu na temat znaczenia matematyki: "Wszyscy używamy matematyki wszędzie. Aby mówić o czasie, przewidywać pogodę, obchodzić się z pieniędzmi. ... Matematyka to więcej niż fonnule i cytaty. Matematyka to więcej niż liczby. To to logika. To racjonalność. Używa twojego umysłu do rozwiązywania największych znanych nam tajemnic. "

Jonathan Schaeffer (ur. 1957)

W 2007 r. Informatyk Jonathan Schaeffer i jego koledzy wykorzystali komputery, aby w końcu udowodnić, że gra w warcaby, gdy gra się doskonale, nie przynosi wygranych. Oznacza to, że warcaby przypominają Tic Tae Toe - grę, której nie można wygrać, jeśli obaj gracze nie wykonają niewłaściwych ruchów. Obie gry kończą się remisem. Dowód Schaeffera został wykonany przez setki komputerów w ciągu 18 lat, dzięki czemu warcaby są najbardziej złożoną grą, jaką kiedykolwiek rozwiązano. Oznacza to również, że teoretycznie możliwe jest zbudowanie maszyny, która nigdy nie przegra z człowiekiem. Warcaby, które korzystają z planszy 8 x 8, były niezwykle popularne w Europie w XVI wieku, a wczesne odmiany gry zostały odkryte w ruinach starożytnego miasta Ur (ok. 3000 p.n.e) we współczesnym Iraku. Pionki w warcabach są często w postaci czarnych i czerwonych dysków, które przesuwają się po przekątnej. Gracze wykonują ruchy i chwytają się nawzajem, przeskakując nad nimi. Oczywiście, biorąc pod uwagę, że istnieje około 5x10²⁰ możliwych pozycji , udowodnienie, że warcaby są gwarantowanym losowaniem, jest znacznie trudniejsze niż udowodnienie, że Tic Tac Toe nie można wygrać. Zespół badawczy warcabów rozważył 39 000 miliardów układów z 10 lub mniej częściami na planszy, a następnie ustalił, czy wygra czerwony czy czarny. Zespół wykorzystał również wyspecjalizowany algorytm wyszukiwania, aby zbadać początek gry i zobaczyć, w jaki sposób te ruchy "wkroczyły" do konfiguracji 10-szachowych. Rozwiązanie warcabów stanowiło główny punkt odniesienia w dziedzinie sztucznej inteligencji, która często obejmuje złożone strategie rozwiązywania problemów w komputerach. W 1994 roku program Schaeffera o nazwie Chinook ograł mistrza świata Marion Linsley w serii losowań. Tinsley zmarł na raka osiem miesięcy później, a niektórzy zganili Schaeffera za przyspieszenie śmierci z powodu stresu, jaki Chinook wywołał u Tinsleya!

Marins Sophns Lie (1842-1899), Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923)

Przez ponad wiek matematycy starali się zrozumieć ogromną, 248-wymiarową istotę, znaną im tylko jako E₈. Wreszcie w 2007 r. międzynarodowy zespół matematyków i informatyków wykorzystał superkomputer, aby oswoić skomplikowaną bestię. Jako tło rozważmy Mysterium Cosmographicum (Świętą tajemnicę kosmosu) Johannesa Keplera (1571-1630), który był tak zafascynowany symetrią, że zasugerował, że cały układ słoneczny i orbity planet mogą być modelowane przez platońskie ciała stałe, takie jak sześcian i dwunastościan, ułożone w sobie wachlujące warstwy, jak w gigantycznej krystalicznej cebuli. Tego rodzaju symetrie Keplerowskie miały ograniczony zasięg i liczbę; jednak symetrie, których Kepler nie mógł sobie wyobrazić, mogą rzeczywiście rządzić wszechświatem. Pod koniec XIX wieku norweski matematyk Sophus Lie badał obiekty o gładkich symetriach obrotowych, takie jak kula lub pączek w naszej zwykłej trójwymiarowej przestrzeni. W trzech i wyższych wymiarach tego rodzaju symetrie wyrażane są przez grupy Liego. Matematyk z Gennan Wilhelm Killing zasugerował istnienie grupy E₈ w 1887 r. Prostsze grupy Liego kontrolują kształt orbity elektronowej i symetrie kwarków subatomowych. Większe grupy, takie jak E₈, mogą kiedyś posiadać klucz do zunifikowanej teorii fizyki i pomóc naukowcom rozumieć teorię strun i grawitację. Fokko du Cloux, holenderski matematyk i informatyk, który był jednym z członków zespołu E₈, napisał oprogramowanie dla superkomputera i zastanawiał się nad konsekwencjami E₈, gdy umierał na stwardnienie zanikowe boczne i oddychał respiratorem. Zmarł w listopadzie 2006 r., Nigdy nie dożył końca poszukiwań E₈. 8 stycznia 2007 r. Superkomputer obliczył ostatni wpis w tabeli dla E₈, który opisuje symetrię 57-wymiarowego obiektu, który można sobie wyobrazić jako obracający się na 248 sposobów bez zmiany jego wyglądu. Praca ta jest znacząca jako postęp w wiedzy matematycznej oraz w wykorzystaniu komputerów wielkoskalowych do rozwiązywania głębokich problemów matematycznych.

Max Tegmark (ur. 1967)

Napotkaliśmy różne geometrie, o których sądzono, że utrzymują klucze do wszechświata. Johannes Kepler modelował układ słoneczny za pomocą brył platońskich, takich jak dwunastościan. Duże grupy Liego, takie jak Ea₈, mogą kiedyś pomóc nam stworzyć jednolitą teorię fizyki. Zasugerował to nawet Galileo w XVII wieku "wielka książka natury jest napisana symbolami matematycznymi". W latach sześćdziesiątych fizyk Eugene Wigner był pod wrażeniem "nieuzasadnionej skuteczności matematyki w naukach przyrodniczych". W 2007 roku szwedzko-amerykański kosmolog Max Tegmark opublikował artykuł naukowy i popularne artykuły na temat hipotezy Wszechświata Matematycznego (MUH), która stwierdza, że nasza rzeczywistość fizyczna jest strukturą matematyczną i że nasz wszechświat nie jest opisywany tylko przez matematykę - to matematyka. Tegmark jest profesorem fizyki w Massachusetts Institute of Technology i dyrektorem naukowym Foundational Questions Institute. Zauważa, że jeśli weźmiemy pod uwagę równania takie jak 1 + 1 = 2, to oznaczenia liczb są względnie nieistotne w porównaniu z opisywanymi relacjami. Uważa, że "nie wynajdujemy struktur matematycznych - odkrywamy je i wymyślamy jedynie zapis do ich opisu". Hipoteza Tegmarka sugeruje, że "wszyscy żyjemy w gigantycznym obiekcie matematycznym, który jest bardziej skomplikowany niż dwunastościan i prawdopodobnie również bardziej złożony niż obiekty o zastraszających nazwach, takie jak rozmaitości Calabi-Yau, wiązki tensorowe i przestrzenie Hilberta, które pojawiają się w dzisiejszych najbardziej zaawansowanych teorie. Wszystko w naszym świecie jest czysto matematyczne - łącznie z tobą ". Jeśli ten pomysł wydaje się sprzeczny z intuicją, nie powinno to dziwić, ponieważ wiele współczesnych teorii, takich jak teoria kwantowa i teoria względności, może wywoływać intuicję. Jak matematyk Ronald Graham powiedział kiedyś: "Nasze mózgi ewoluowały, aby wydostać nas z deszczu, dowiedzieć się, gdzie są jagody i uchronić nas przed śmiercią. Nasze mózgi nie ewoluowały, aby pomóc nam uchwycić naprawdę duże liczby lub spojrzeć na rzeczy w stu tysiącach wymiarów. "